Diagonalisabilité d'une matrice
Bonjour
Je bloque sur un exercice portant sur la diagonalisabilité d'une matrice vérifiant une équation matricielle.
Soit donc $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A^{3}=A^{t}A$. Et il faut montrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.
On voit que $A^{3}$ est une matrice symétrique réelle donc d'après le théorème spectral elle est diagonalisable.
Je connais le résultat que si une matrice complexe inversible vérifie $\exists p \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $A^{p}$ est diagonalisable alors $A$ est diagonalisable aussi. Et j'aimerais montrer que ma matrice est inversible mais je n'y arrive pas. Et il est difficile de procéder par analyse synthèse en écrivant par exemple $A=PTP^{-1}$ car $P$ ne serait qu'inversible et cela compliquerait le calcul avec la transposée.
Je pense qu'il y a des informations que je n'exploite pas à partir de l'équation mais je n'arrive pas à les trouver
J'espère que vous pourrez m'aider à voir plus clair dans cet exercice.
Merci d'avance,
Je bloque sur un exercice portant sur la diagonalisabilité d'une matrice vérifiant une équation matricielle.
Soit donc $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ telle que $A^{3}=A^{t}A$. Et il faut montrer que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.
On voit que $A^{3}$ est une matrice symétrique réelle donc d'après le théorème spectral elle est diagonalisable.
Je connais le résultat que si une matrice complexe inversible vérifie $\exists p \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $A^{p}$ est diagonalisable alors $A$ est diagonalisable aussi. Et j'aimerais montrer que ma matrice est inversible mais je n'y arrive pas. Et il est difficile de procéder par analyse synthèse en écrivant par exemple $A=PTP^{-1}$ car $P$ ne serait qu'inversible et cela compliquerait le calcul avec la transposée.
Je pense qu'il y a des informations que je n'exploite pas à partir de l'équation mais je n'arrive pas à les trouver
J'espère que vous pourrez m'aider à voir plus clair dans cet exercice.
Merci d'avance,
Réponses
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Si $X \in \ker(A)$, alors $AX = 0$, donc $A^3 X = 0$, donc $A{\,}^t\!AX = 0$, donc ${}^t\!XA{\,}^t\!AX = 0$, soit $\| {}^t\!AX \|^2 = 0$. D'où ${}^t\!AX = 0$, et donc $X \in \ker({}^t\! A)$. Quitte à conjuguer orthogonalement (en se plaçant dans une base orthonormée adaptée à la décomposition $\ker(A) \oplus \ker(A)^{\perp}$), on peut donc supposer que $A$ est de la forme $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}$ avec $B$ inversible, et qui vérifie $B^3 = B{\,}^t\!B$.
Tu peux alors appliquer ton raisonnement à $B$, et recoller les morceaux pour en déduire le résultat sur $A$. -
supp
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Side : polynôme scindé ne suffit pas à avoir diagonalisable, c'est là qu'intervient l'hypothèse d'inversibilité de $A$, pour assurer que $Q$ est à racines simples (toute mattice annule un polynôme scindé sur $\C$, ça donne la trigonalisabilité)
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supp
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side: je n'avais pas vu que tu avais écrit "racines positives", auquel cas soit tu utilises la convention anglosaxonne et rien de ce que tu as écrit avant ne te permet d'obtenir ça, soit tu utilises la convention française, auquel cas tu as bien écrit "il suffit de vérifier que $A$ annule le polynôme $Q$ dont on vérifie qu'il est scindé [...] et donc que $A$ est diagonalisable" : tu as littéralement écrit que scindé impliquait diagonalisable.
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supp
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ça ne suffit pas : pourquoi ses racines sont-elles simples ? C'est là que "$A$ inversible" intervient.
Ah tu as corrigé ton erreur. Non ce n'est pas corrigeable, on n'a pas $A^p$ diagonalisable $\implies A$ diagonalisable en général, ça se saurait (regarde du côté des nilpotentes). Le message de Guego explique comment se ramener à la situation inversible où le résultat devient vrai (car là $Q$ est bien à racines simples) -
supp
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side : Ta solution revient essentiellement à celle proposée par Guego, même si c'est une manière de présenter légèrement différente qu'il peut être bon de voir.
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supp
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Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses.
J'aimerais vous poser quelques questions sur des détails que je n'arrive pas à montrer, par exemple dans la solution de Guego, comment montre-t-on que dans une base orthonormée adaptée à la décomposition $\ker(A)+\ker(A)^{\perp}$ que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & B
\end{pmatrix}$ ?
Et dans la solution de side je ne vois pas comment vous passez de $(A^{3}X\mid X)=0$ à $||AX||=0$ et aussi pourquoi $\mathrm{pgcd}(Q,\mu _{A})$ annule $A$, et d'ailleurs s'il annulait $A$ il ne serait pas justement $\mu _{A}$ ?
Pour la recherche de toutes les solutions je n'ai pas compris exactement votre démarche mais je vais prendre tout le temps nécessaire pour la comprendre. Merci d'avoir élargi les horizons de cet exercice.
J'espère que vous pourrez m'aider à traiter ces détails.
Merci d’avance, -
Pour la solution de Guego : Les premières colonnes sont claires (c'est la définition de $\ker (A)$): donc c'est un carré de la forme $\begin{pmatrix} 0 & C \\
0 & B \end{pmatrix}$
Maintenant comme on a fait attention et qu'on prend une base orthonormée, la transposée de cette matrice est la matrice de $A^T$ dans cette nouvelle base : $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\
C^T & B^T \end{pmatrix}$
Sauf que Guego a montré que $\ker (A) = \ker(A^T)$, et les premières colonnes sont dans $\ker (A)$, donc dans $\ker( A^T)$, donc $C^T=0$, d'où $C=0$, d'où la forme donnée. Le fait que $B$ vérifie les propriétés annoncées et est inversible est ensuite clair.
Pour la solution de side : si $(A^3X\mid X)=0$, alors $(A^TAX\mid X)=0$ donc $(AX\mid AX)=0$, etc.
Ensuite, à la fois $Q$ et $\mu_A$ annulent $A$, donc $pgcd(Q,\mu_A)$ aussi, car il s'écrit $UQ+V\mu_A$ (Bézout)
Et si justement, c'est bien $\mu_A$ du coup, sauf que ce que ça veut dire c'est que $\mu_A$ divise $Q$, avec moins de facteurs $X$ (c'est ce que side explique juste au-dessus : la multiplicité de $0$ dans $\mu_A$ est de $1$), et donc est à racines simples (scindé on s'en fiche un peu car on regarde sur $\C$ à cet endroit là, et tout y est scindé) -
supp
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side: que ce soit $A^*A$ ou $AA^*$ ne change rien à l'argumentation puisque les situations sont symétriques. J'ai d'ailleurs fait comme toi dans ma réponse, et ai interprété $A^TA$
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supp
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Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses et votre aide.
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