$\{ f(z+n+im)\}$ de dimension finie

Merci : $S$ est un anneau, généré par $z$ et les $e^{wz}$ (l'anneau des polynômes exponentiels). Par contre la démonstration de ton article est dans une de leurs références "GRAMAIN, Equations aux différences et polynômes exponentiels, 1991" introuvable sur le net.

On regarde plutôt l'ensemble des fonctions entières $F: \Bbb{C \to C^n}$ telles que $F(z+1) = A_1 F(z), F(z+i) = A_i F(z)$ pour deux matrices $A_1,A_i \in GL_n(\Bbb{C})$.

$F(z+1+i) = F(z+i+1)$ donc on peut supposer $A_1A_i=A_i A_1$ et décomposer $\Bbb{C}[A_1,A_i] \cong \prod_j \Bbb{C}[X_j]/(X_j^{e_j})$
et ne regarder que le cas où $X_j$ est la matrice $e_j \times e_j$ avec des $1$ sur la ligne au dessus de la diagonale et $A_1 = p_1(X_j),A_i= p_i(X_j) \in \Bbb{C}[X_j]$.

$A_1,A_i$ sont inversibles donc $p_1(0) \ne 0, p_i(0) \ne 0$. Supposons qu'il existe $w$ tel que $e^w = p_1(0),e^{iw} = p_i(0)$.

Alors $f(z)=e^{-wz} F(z)$ satisfait $f(z+1) = p_1(0)^{-1}A_1 f(z), f(z+i) =p_i(0)^{-1} A_i f(z)$

Et là c'est bon, $p_1(0)^{-1}A_1,p_i(0)^{-1}A_i$ sont des matrices triangulaires supérieures avec des $1$ sur la diagonale donc la croissance de $f$ est au plus polynomiale donc avec Liouville on a que $f$ est un polynôme.


Etes-vous d'accord avec cette démonstration ?

Voyez-vous un moyen d'exclure ce cas bizarre où il n'existe pas de $w$ tel que $e^w = p_1(0)$, $e^{iw} = p_i(0)$ ?

Si on demande que $A_1,A_i \in GL_n(\Bbb{Z})$ on n'a plus que les polynômes comme solutions ?