Groupe dont l'ordre est sans facteur carré
Bonjour,
J'ai lu que si $G$ est un groupe dont l'ordre est sans facteur carré alors $G$ est résoluble.
On peut résonner par récurrence sur $r$, le nombre de facteur premier de l'ordre de $G$.
si $r = 0,1$ 2 (faux pour r =2) alors $G$ est abélien donc résoluble
si le résultat est vrai au rang $r$ je prends $G$ un groupe dont l'ordre admet exactement $r+1$ facteur premier et est sans facteur carré
si $p$ premier divise l'ordre de $G$ alors par le Lemme de Cauchy $G$ contient un sous-groupe H, cyclique de cardinal $p$. En particulier $H$ est abélien donc distingué erreur. et $G/H$ est résoluble par hypothèse de récurrence donc $G$ est résoluble.
Cette preuve semble fonctionner à première vue, mais je n'ai pas l'impression de me servir du fait que $|G|$ est sans facteur carré ce qui m'amène à penser que j'ai fait une erreur quelque part. Qu'en dites vous ?
J'ai lu que si $G$ est un groupe dont l'ordre est sans facteur carré alors $G$ est résoluble.
On peut résonner par récurrence sur $r$, le nombre de facteur premier de l'ordre de $G$.
si $r = 0,1$ 2 (faux pour r =2) alors $G$ est abélien donc résoluble
si le résultat est vrai au rang $r$ je prends $G$ un groupe dont l'ordre admet exactement $r+1$ facteur premier et est sans facteur carré
si $p$ premier divise l'ordre de $G$ alors par le Lemme de Cauchy $G$ contient un sous-groupe H, cyclique de cardinal $p$. En particulier $H$ est abélien donc distingué erreur. et $G/H$ est résoluble par hypothèse de récurrence donc $G$ est résoluble.
Cette preuve semble fonctionner à première vue, mais je n'ai pas l'impression de me servir du fait que $|G|$ est sans facteur carré ce qui m'amène à penser que j'ai fait une erreur quelque part. Qu'en dites vous ?
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Réponses
D'ailleurs attention, il y a des groupes d'ordres $pq$ non abéliens (ils sont pourtant résolubles)
Cette preuve semblait décidément trop simple. Elle a l'air assez irréparable, je vais regarder si $H$ peut-être distingué par un autre argument mais ça semble voué à l'échec, il va sûrement falloir tout reprendre.
Pour ce qu'il en est de la preuve du résultat précédent, ça semble en effet plus compliqué que prévu. Je vais me renseigner sur le théorème du complément de Frobenius.