Endomorphisme diagonalisable
Re
Soit $f\in L(\R^3)$ telle que $f^2=f^4$ et telle que $-1$ et $1$ soient valeurs propres de $f$.
Montrer que $f$ est diagonalisable.
En exploitant $f(x)=x$ et $f(x)=-x$ , on obtient que $f = f^{-1}$ donc $f$ est involutive et inversible, et que $f^4=id_{\R^3}$ .
Après je ne vois pas trop... j'ai pensé à Cayley-Hamilton ?
Soit $f\in L(\R^3)$ telle que $f^2=f^4$ et telle que $-1$ et $1$ soient valeurs propres de $f$.
Montrer que $f$ est diagonalisable.
En exploitant $f(x)=x$ et $f(x)=-x$ , on obtient que $f = f^{-1}$ donc $f$ est involutive et inversible, et que $f^4=id_{\R^3}$ .
Après je ne vois pas trop... j'ai pensé à Cayley-Hamilton ?
Réponses
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Comment obtiens-tu $f=f^{-1}$ ? Déjà quel est le sens de $f^{-1}$ sachant que tu n'as pas encore prouvé que $f$ est inversible ?
Indication : $X^4-X^2=X^2(X^2-1)$ annule $f$, et tes hypothèses te disent que $X^2-1$ divise le polynôme minimal de $f$. Qu'est-ce que tu peux en déduire via Cayley-Hamilton ? -
Euh comme $1$ est une valeur propre de $f$ il existe $x\in \R^3$ tel que $f(x)=x$ donc $f \circ f(x)=f(x)=x$ donc $f \circ f = id $ ? $f$ est donc une involution (juste pour ce $x$ là ? ) mais en effet je ne sais pas si $f$ est inversible...c'est un peu hâtif.
Je ne connais la notion de polynôme minimal, juste polynôme caractéristique et polynôme annulateur. -
Bah oui, tu n'as $f\circ f (x) = x$ que pour deux droites, tu ne sais pas en général ce que vaut $f\circ f$ !
Quels critères de diagonalisabilité connais-tu si tu ne connais pas le polynôme minimal ? -
Ok, alors premièrement tu sais ce que polynôme annulateur veut dire : peux-tu utiliser ça pour montrer $Sp(f)\subset \{0,1,-1\}$ ? (accolade : c'est \{ et \}, inclus c'est \subset )
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Bonsoir !
Je pense qu'il manque dans ton énoncé : $-1,1$ sont les seules valeurs propres de $f$. -
rakam : non, l'énoncé est correct tel quel
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Euh...le polynôme caractéristique divise tout polynôme annulateur de $f$, donc l'ensemble des racines du polynôme caractéristique est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur ?
Non, ce n'est pas clair ce queje dis :-S -
Non le polynôme caractéristique ne divise pas tout polynôme annulateur (ça c'est le polynôme minimal ;-) )
Par contre si $P$ annule $f$ et $\lambda$ est une valeur propre de $f$, quid de $P(\lambda)$ ? -
Quel est le degré du polynôme caractéristique $\chi_f$ de $f$ ?
Tu sais que $X^2-1$ divise $\chi_f$ : que te manque-t-il pour connaître (la factorisation de) $\chi_f$ ? Plus précisément, quelles sont les factorisations possibles de $\chi_f$ ? -
Totem : oui, peux-tu le prouver ?
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Pas vraiment...$P$ annule $\lambda x$ avec $x$ vecteur propre mais je n'ai pas mieux !
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Si $x$ est un vecteur propre, peux -tu calculer $P(f)(x)$ ? En commençant par disons $P=X^2$ puis $P=X^3$
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Bonsoir,
on peut aussi dire que $f^2$ est un projecteur donc $f^2$ est diagonalisable, mais les éventuels espaces propres associés à cet endomorphisme sont de dimensions 0,1,2 ou 3, pour la valeur propre 0 les espaces propres sont connus, pour la valeur propre 1 , et ce sont des espaces propres, il ne reste plus qu'a résoudre $f^2-id=0$ sur le sous espace propre associé à 1, et comme ce polynôme est scindé sur $\mathbf{C}$ il est diagonalisable sur ce sous espace.
Et $f$ est diagonalisable.
bonne soirée. (je pense que c'est juste) -
Si $P$ annule $f$, c'est pour tout $x$ en fait ,que $x$ soit un vecteur propre ou pas ? ça ne change rien...
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les espaces propres du projecteurs sont en sommes directes pour $f^2$ le polynôme un polynôme annulateur pour $f$
sera $X(X-1)(X+1)$ qui est scindé à racine simple $f$ est diagonalisable. -
Oui, mais tu ne réponds pas à mon calcul : soit $P$ un polynôme quelconque, $f$ un endomorphisme, et $x$ un vecteur propre de $f$: que vaut $P(f)(x)$ ? Essaie avec $X^2$ d'abord, puis $X^3$, puis généralise.
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Ah $P$ est quelconque ??
Ben ça fait $P(\lambda x)$ ?? -
$P(\lambda x)$, ça n'a pas de sens.
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Bon ben $P(\lambda X)$ ? sinon je n'en sais rien...mais on ne s'éloigne pas un peu du sujet là ? je perds le fil (même si ce qu'on dit m'intéresse :-) )
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C'est un polynôme, le résultat devrait être un vecteur : essaie avec $P=X^2$. On s'éloigne un poil du sujet pour que tu puisses répondre au sujet ;-)
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Si $x$ est vecteur propre, $f^2(x)=f(f(x))=f(\lambda x)=\lambda f(x)=\lambda ^2 x$. Généralise ça pour $f^n(x)$ puis pour $P(f)(x)$ pour $P$ quelconque ?
Tout ça pour te faire comprendre que les valeurs propres possibles sont incluses dans les racines de tout polynôme annulateur, en particulier $X^2-X^4$.
Pour finir ensuite on peut juste distinguer les cas suivant si $f$ est inversible ou non. -
Ah oui donc $f^n(x)=\lambda^n x$
Je continue car j'ai envie de comprendre :
Si $P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_nx^n$, alors si $x$ vecteur propre on a $P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_n\lambda^n x$ ?
Oui ça j'avais compris . Donc c'est bien ce que je disais , $Sp(f) \subset \{0;1;-1\}$Crapul a écrit:Tout ça pour te faire comprendre que les valeurs propres possibles sont incluses dans les racines de tout polynôme annulateur, en particulier $X^2-X^4$.
$1$ et $-1$ sont valeurs propres par hypothèse, reste donc le cas de la valeur propre éventuelle $0$...
Pour $0$ en effet je ne sais pas comment m'y prendre... -
Tu as le résultat mais maxtimax voulait s'assurer de savoir si tu savais le montrer, ce qui ne semble pas être le cas, mais il ne manque pas grand chose.
Bon sais-tu conclure si 0 est valeur propre ? d'ailleurs ça équivaut à quoi ? -
Cela équivaut à $f$ n'est pas inversible je crois . Dans ce cas $f$ est diagonalisable ?
Il y a donc un lien entre inversibilité et diagonalisabilité...je ne savais pas.:-) -
Euh oui 0 valeur propre équivaut à $f$ non inversible, pourquoi ? Mais par contre il n'y a pas de rapport direct entre inversibilité et diagonalisabilité...
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Sous l'hypothèse que $f^4=f^2$, l'inversibilité implique la diagonalisabilité. Mais pourquoi donc ?
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Oui. Donc si 0 est valeur propre, sais-tu conclure ?
Math coss te lance sur une piste dans l'autre cas. -
Alors $f$ est diagonalisable car elle possède 3 valeurs propres distinctes (et réelles ?) et on est en dimension $3$ donc il n' y en a pas d'autres.
Et si $f$ est inversible, ben elle n'est pas diagonalisable du coup...? -
Oui s'il y avait eu 3 valeurs propres distinctes dans $\C$ on aurait été embêté, mais ce n'était pas possible puisqu'il y avait déjà 1 et -1.
Pour l'autre partie, je te rappelle que le but de l'exercice est de montrer la diagonalisabilité, donc "elle n'est pas diagonalisable du coup" montre que tu réponds bien trop vite, surtout que math coss te dit justement le contraire. Suis son indication. -
La matrice $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est inversible et pas du tout diagonalisable.
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Ah oui en effet désolé. Donc elle est diagonalisable dans tous les cas...
Supposons que $f$ est inversible . Alors $f^{-1}$ existe. Or$f^4= f^2$ donc $f^3=f$ donc $f^2=id$ donc $f=f^{-1}$ ...? -
Pense polynôme annulateur...
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... et repars de $f^2=\mathrm{id}$.
-
Bonjour,
Tu peux raisonner calmement par disjonction des cas:
- 1er cas: $0$ est valeur propre de $f$.
Alors, [utilisation d'une condition suffisante de diagonalisabilité pour conclure]
- 2ème cas: $0$ n'est pas valeur propre de $f$
Alors, $f$ est bijective.
Or, $f^4 = f^2$.
Donc, ...
Ainsi, le polynôme scindé à racines simples $(X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur de $f$.
Donc ...
Ainsi, dans tous les cas, ...
Bien cordialement, -
Oui donc $X^2-1$ annule $f$.
Donc rebelote $Sp(f) \subset \{1;-1\}$.
Je vais encore dire une bêtise mais comment est-on sûr qu'il n' y a pas une troisième valeur propre dans ce cas , vu qu'on est en dimension $3$ ? -
Ben tu as écrit $Sp(f) \subset \{1;-1\}$, donc il n'y en a pas d'autre. Mais ça ne nous aide pas du coup.
Le polynôme annulateur que tu as trouvé a quelque chose de particulier. -
Une autre valeur propre annulerait aussi $X^2-1$. Par contre c'est ici que l'absence de critère via le polynôme minimal va te poser problème.
Connais-tu le lemme des noyaux ? -
Après si il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $f^{m}=Id{v}$ tu peux passer par la forme de Jordan pour montrer que la matrice nilpotente $N$ dans la décomposition de Dunford-Jordan ($ J=D + N $) est nulle et donc il ne reste que $D$ qui est diagonale.
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totem : bah non justement, je répondais à ta question "comment sait-on qu'il n'y a pas d'autre valeur propre ?"
Oui, on peut s'en passer. Dans le cas inversible tu as établi $f^2=id$, donc $f$ est une symétrie. Tu as sûrement démontré à un moment que si $s$ est une symétrie, $\R^3= \ker (s-id)\oplus \ker (s+id)$, non ? -
Oui là par contre je connais les symétries et cette décomposition !
Une symétrie est diagonalisable ? -
Essaie donc d'écrire la matrice de $s$ dans une base adaptée à cette décomposition...
-
$\begin{pmatrix}1& 0& 0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1 \end{pmatrix} $ Ah oui elle est diagonale !
[Clic droit sur la matrice > etc. :-) AD] -
Pas forcément ça, mais oui elle sera diagonale. bon l'exo est fini, non ?
Tu devrais rédiger tout ça depuis le début proprement (ici ou non) pour que tes idées soient bien claires.
Mais tu devrais tout de même connaître ce résultat : "si $f$ est annulé par un polynôme scindé à racines simples, alors $f$ est diagonalisable." -
Oui c'est un résultat important en effet.
Si les racines sont complexes, les valeurs propres aussi, est-ce important ? -
Je ne suis pas sûr de comprendre la question, mais imaginons que l'on ait un endomorphisme $f$ annulé par le polynôme $P=X^2+1=(X-i)(X+i)$. Ce polynôme n'a pas de racine dans $\R$, donc $f$ n'a pas de valeur propre réelles, et n'est donc pas diagonalisable dans $\R$, même si $P$ est scindé à racines simples... dans $\C$. Par contre, de ce fait, $f$ est bien diagonalisable dans $\C$.
-
Avec le théorème de d'Alembert-Gauss, un endomorphisme est toujours diagonalisable dans $\C$ ?
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