Endomorphisme diagonalisable

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Réponses

  • Crapul
    Crapul
    Non, d'Alembert-Gauss ne dit pas que tout polynôme complexe est scindé à racines simples. Mais ce théorème dit que tout endomorphisme est trigonalisable dans $\C$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Crapul l'a dit et j'insiste quand même parce que c'est méga important : la diagonalisabilité c'est scindé à racines simples
  • totem
    totem
    Euh vous pouvez me donner un exemple de polynôme non scindé à racines simples dans $\C$ ?
  • Crapul
    Crapul
    $X^2$
  • totem
    totem
    Ah oui...on n'a pas le droit d'écrire : $X^2=(X-0)(X+0)$ ? :-)
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si, tu as le droit de l'écrire, mais $0=-0$ donc ce n'est pas à racines simples
  • totem
    totem
    Ah $0$ est une racine double ? bon enfin bref je m'égare un peu là, mais une question en entraînant une autre...:-D
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui exactement
  • Guego
    Guego
    totem a écrit:
    Euh vous pouvez me donner un exemple de polynôme non scindé à racines simples dans $\C$ ?
    C'est "(non scindé) à racines simples" ou "non (scindé à racines simples)" ?
  • totem
    totem
    Merci pour cette subtilité Guego :-D

    C'était non {scindé à racines simples} !
  • Math Coss
    Math Coss
    totem a écrit:
    Avec le théorème de d'Alembert-Gauss, un endomorphisme est toujours diagonalisable dans $\C$
    Bis repetita placent. La matrice $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ a un polynôme caractéristique on ne peut plus scindé (sur $\C$, sur $\R$ ou même sur $\Q$) mais ni D'Alembert ni Gauss ne savent la diagonaliser.
  • totem
    totem
    @MathCoss: ok pourquoi ta matrice n'est pas diagonalisable ? je veux dire quelle est la raison ?
  • Crapul
    Crapul
    Bon samedi !
    Quelles sont ses valeurs propres ? A quoi ressemblerait la matrice diagonale ?
  • totem
    totem
    Pareillement ! une valeur propre double : $1$ ? elle serait semblable à la matrice identité ?
  • Crapul
    Crapul
    Et que penses-tu d'une telle matrice ?
  • totem
    totem
    Qu'est-ce que j'en pense ??euh...c'est l'élément neutre pour $\times$ (:D

    Elle est de dimension 2, elle est de rang 2, elle est égale à sa propre inverse...désolé c'est samedi !:-D
  • Math Coss
    Math Coss
    Si la matrice $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ était semblable à l'identité, il existerait $P$ inversible telle que $J=P\mathrm{I}_2P^{-1}$, c'est-à-dire...
  • totem
    totem
    Ah oui on aurait $J=I_2$, forcément ça ne va pas...ok...donc elle n'est pas diagonalisable...
  • Math Coss
    Math Coss
    Sinon, directement : la dimension de l'espace propre associé à la valeur propre $1$ est $1$ et c'est le seul (espace propre) donc il n'existe pas de base formée de vecteurs propres.
  • totem
    totem
    Ah oui merci Math Coss !
    Que de choses à retenir...:-(
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