Isomorphismes

jeantonyk
jeantonyk
dans Algèbre
Bonjour, est-ce que vous pourriez me donner des pistes pour cet exercice s'il vous plaît ? Désolé l'énoncé est en anglais.
Merci.87796

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    a) Est-ce que tu peux déjà déterminer explicitement le dual de $\Q [ t ]$ ?

    (on verra plus tard pour b), qui est a priori plus simple)
  • jeantonyk
    jeantonyk
    Comment ça déterminer explicitement ? Trouver une base ? La dimension est infinie donc montrer qu'ils sont isomorphes n'est pas équivalent à montrer qu'ils ont la même dimension.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Par "déterminer explicitement" j'entends : le décrire (à isomorphisme près) sous une forme plus connue. Cette forme plus connue, on pourra ensuite voir qu'elle n'a pas de famille génératrice dénombrable, donc ne peut pas être isomorphe à $\Q [ t ]$
  • Crapul
    Crapul
    (j'essaie moi aussi)
    J'ai un argument mais il fonctionne aussi pour n'importe quel $\K [X]$ il me semble, c'est que je me trompe ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Crapul : non c'est normal, d'ailleurs l'argument que j'ai en tête fonctionne pour n'importe quel corps (et se généralise à plus que $K[X]$) - mais je ne sais pas si c'est le même que le tien
  • Crapul
    Crapul
    Je pense que oui, mais j'ai eu un doute, vu que la question ne parlait que de $\Q$, et c'est dérangeant au bout d'un moment :-D
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour,

    Sauf erreur de ma part :
    $ \mathbb{Q} [t]^{ \vee } = \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} - \mathrm{lin} } ( \mathbb{Q} [t] , \mathbb{Q} ) = \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} - \mathrm{lin} } ( \mathbb{Q}^{( \mathbb{N} ) } , \mathbb{Q} ) $
    $ = \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} - \mathrm{lin} } ( \displaystyle \bigoplus_{ n \in \mathbb{N} } \mathbb{Q} , \mathbb{Q} ) = \displaystyle \prod_{ n \in \mathbb{N} } \mathrm{Hom}_{ \mathbb{Q} - \mathrm{lin} } ( \mathbb{Q} , \mathbb{Q} ) = \displaystyle \prod_{ n \in \mathbb{N} } \mathbb{Q} = \mathbb{Q}^{ \mathbb{N} } = \mathbb{Q} t $
    Non ?
  • jeantonyk
    jeantonyk
    Je ne vois pas vraiment.. et l'argument de Pablo_de_retour sors du cadre de mon cours donc je le comprends pas trop.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il faut éviter d'écouter Pablo en général. Ce qu'il a écrit là n'est pas faux mais il fait semblant d'utiliser des choses de haut niveau pour dire une chose que tu peux comprendre; mais du coup tu ne le comprends pas.

    Tu as une base de $\Q [ t ]$ n'est-ce pas ? Une forme linéaire sur un espace vectoriel dont tu connais une base $B$, tu peux la décrire comment ?
  • jeantonyk
    jeantonyk
    Une forme linéaire sur $Q[t]$ peut être décrite par l'image des vecteurs de cette application sur les vecteurs de la base donc ici $ (1,t^{2}, t^{3}...) $
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Il te manque $t$ mais très bien, tu as l'idée. Donc elle est décrite par une suite de rationnels, un pour chaque vecteur de la base : un pour $1$, un pour $t$, un pour $t^2$ etc.
    Donc $\Q [ t ] ^*\simeq \Q^\N$. Est-ce que déjà ça te va, ça ?
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