Complexe réel
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Je cherche à montrer que si $a, b, c, d$ sont des complexes tels que $|a|=|b|=|c|$, alors (en notant $z^*$ le conjugué de $z$), on a $(a-b)(c-d)(a^*-d^*)(c^*-b^*)+i(cc^*-dd^*) \Im(cb^*-ca^*-ab^*) \in \mathbb{R}$. Quelqu'un a-t-il une solution sans trop de calculs?
Je vous remercie d'avance!
Je cherche à montrer que si $a, b, c, d$ sont des complexes tels que $|a|=|b|=|c|$, alors (en notant $z^*$ le conjugué de $z$), on a $(a-b)(c-d)(a^*-d^*)(c^*-b^*)+i(cc^*-dd^*) \Im(cb^*-ca^*-ab^*) \in \mathbb{R}$. Quelqu'un a-t-il une solution sans trop de calculs?
Je vous remercie d'avance!
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Réponses
C’est faux. $a=b=c=1$ et $d=2c$. NON C’EST FAUX. J’ai mal lu la partie imaginaire.
Peux-tu vérifier ce contre exemple $a=1,b=-1,c=i, d=2$, je trouve $6+8 i.$ encore une erreur de calcul... ça vaut $2$.
En fait la relation est vraie...
Adrien, tu pourrais noter les conjugués comme ça: $\overline{a}$.
Cordialement,
Rescassol
@YvesM avec votre exemple je trouve 2.
Ce n'est pas nul dans le cas général, ou alors il y a une erreur dans l'énoncé.
Cordialement,
Rescassol
J’ai démontré que la relation est vraie. Étonnant, non ?
On utilise la force brute, en 15 minutes de calcul. On part de $2i \Im(z)=z-z^*$ et on développe. Je trouve $28$ termes.
Soit ils sont réels comme $|a|^2|c|^2$, soit ils sont complexes conjugués comme $a^*bc^*d$ et $ab^*cd^*$, soit ils sont complexes conjugués quand on les regroupes par trois comme $1/2 a^*c|d|^2-1/2 ac^*|d|^2+ac^*|d|^2.$
Il n’y a simplement pas d’autre façon car c’est bien l’arrangement de tous les termes qui donne un réel.
Pour le calcul, je suggère :
- de ne pas oublier le facteur $1/2$
- d’écrire tous les termes dans l’ordre alphabétique comme $ab$ et non pas $b a$
- d’utiliser $|a|=|b|=|c|$ mais sans faire cette substitution, ce n’est pas utile pour arranger les termes.
Pour une démonstration fulgurante, on peut penser à de la géométrie dans le plan complexe ; il me semble que les quantités en jeu sont issues d'une figure géométrique, mais pas évident de décomposer la formule pour reconnaitre d'où elle vient.