Complexe réel

Bonjour,

C’est faux. $a=b=c=1$ et $d=2c$. NON C’EST FAUX. J’ai mal lu la partie imaginaire.

Peux-tu vérifier ce contre exemple $a=1,b=-1,c=i, d=2$, je trouve $6+8 i.$ encore une erreur de calcul... ça vaut $2$.

En fait la relation est vraie...

Bonjour,

Adrien, tu pourrais noter les conjugués comme ça: $\overline{a}$.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

J’ai démontré que la relation est vraie. Étonnant, non ?

On utilise la force brute, en 15 minutes de calcul. On part de $2i \Im(z)=z-z^*$ et on développe. Je trouve $28$ termes.
Soit ils sont réels comme $|a|^2|c|^2$, soit ils sont complexes conjugués comme $a^*bc^*d$ et $ab^*cd^*$, soit ils sont complexes conjugués quand on les regroupes par trois comme $1/2 a^*c|d|^2-1/2 ac^*|d|^2+ac^*|d|^2.$

Il n’y a simplement pas d’autre façon car c’est bien l’arrangement de tous les termes qui donne un réel.

Pour le calcul, je suggère :
- de ne pas oublier le facteur $1/2$
- d’écrire tous les termes dans l’ordre alphabétique comme $ab$ et non pas $b a$
- d’utiliser $|a|=|b|=|c|$ mais sans faire cette substitution, ce n’est pas utile pour arranger les termes.

Pour une démonstration fulgurante, on peut penser à de la géométrie dans le plan complexe ; il me semble que les quantités en jeu sont issues d'une figure géométrique, mais pas évident de décomposer la formule pour reconnaitre d'où elle vient.