Projecteur
dans Algèbre
Est-ce que quelqu'un aurait un exemple de $u\in\mathcal L(E)$ qui vérifie à la fois :
1) $\mathrm{ker}(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ en somme directe
2) $u$ n'est pas de la forme $\lambda p$ avec $\lambda\in K$ et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur
1) $\mathrm{ker}(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ en somme directe
2) $u$ n'est pas de la forme $\lambda p$ avec $\lambda\in K$ et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur
Réponses
-
Bonjour, $$
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$ en caractéristique différente de 2.
Merci,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ou encore \[\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\]en caractéristique quelconque.
-
N'importe quel endomorphisme inversible !
-
Pas n'importe lequel !
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Oui ! N'importe quel automorphisme qui n'est pas une homothétie :-X
-
J'arrive à voir pourquoi l'endomorphisme associé à la matrice d'e.v. a son noyau et son image en somme directe et que ce n'est pas un projecteur. Mais j'arrive pas à voir pourquoi ce n'est pas un multiple d'un projecteur.
-
Un multiple d'un projecteur, comme un projecteur, a exactement deux valeurs propres.
-
Désolé je ne connais pas encore ce qu'est une valeur propre. Peut-on faire sans ? Par exemple pour voir que la matrice donnée n'était pas celle d'un projecteur, j'ai utilisé que son rang (2) était différent de sa trace (3).
-
Ah, sans cette idée il faut bricoler un peu. Rappel : un projecteur, c'est un endomorphisme $p$ tel que $p^2=p$ ; l'image et le noyau sont en somme directe ; pour $x$ dans l'image, on a $p(x)=x$.
Supposons que la matrice $A$ d'ev soit celle d'un multiple $\lambda p$ d'un projecteur $p$. Le deuxième vecteur de la base canonique $e_2$ est dans l'image puisque $Ae_2=e_2$. On devrait donc avoir $\lambda p(e_2)=e_2$ et donc, comme $p(e_2)=e_2$ (vu que $e_2$ est dans l'image de $p$), on aurait aussi $\lambda=1$. Le troisième vecteur de la base canonique $e_3$ est dans l'image de $A$ puisque $A\bigl(\frac12e_3\bigr)=e_3$. On devrait donc avoit $\lambda p(e_3)=2e_3$, et en même temps $p(e_3)=e_3$, ce qui donne $\lambda=2$. Ce n'est pas compatible. -
bonjour,
une projecteur c'est presque l'identité sur un sous espace vectoriel: donc ça ressemble a une identité, donc que des 1, pour le dernier point
pour le premier point ici, il suffit de voir que la matrice est diagonale par blocs: une matrice par blocs ou seuls les sous-bloc diagonaux sont des matrices inversibles -
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres