Projecteur
dans Algèbre
Est-ce que quelqu'un aurait un exemple de $u\in\mathcal L(E)$ qui vérifie à la fois :
1) $\mathrm{ker}(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ en somme directe
2) $u$ n'est pas de la forme $\lambda p$ avec $\lambda\in K$ et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur
1) $\mathrm{ker}(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ en somme directe
2) $u$ n'est pas de la forme $\lambda p$ avec $\lambda\in K$ et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur
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Réponses
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$ en caractéristique différente de 2.
Merci,
e.v.
amicalement,
e.v.
Supposons que la matrice $A$ d'ev soit celle d'un multiple $\lambda p$ d'un projecteur $p$. Le deuxième vecteur de la base canonique $e_2$ est dans l'image puisque $Ae_2=e_2$. On devrait donc avoir $\lambda p(e_2)=e_2$ et donc, comme $p(e_2)=e_2$ (vu que $e_2$ est dans l'image de $p$), on aurait aussi $\lambda=1$. Le troisième vecteur de la base canonique $e_3$ est dans l'image de $A$ puisque $A\bigl(\frac12e_3\bigr)=e_3$. On devrait donc avoit $\lambda p(e_3)=2e_3$, et en même temps $p(e_3)=e_3$, ce qui donne $\lambda=2$. Ce n'est pas compatible.
une projecteur c'est presque l'identité sur un sous espace vectoriel: donc ça ressemble a une identité, donc que des 1, pour le dernier point
pour le premier point ici, il suffit de voir que la matrice est diagonale par blocs: une matrice par blocs ou seuls les sous-bloc diagonaux sont des matrices inversibles