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Projecteur

Envoyé par hk-futur-mpsi 
Projecteur
il y a cinq mois
Est-ce que quelqu'un aurait un exemple de $u\in\mathcal L(E)$ qui vérifie à la fois :
1) $\mathrm{ker}(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ en somme directe
2) $u$ n'est pas de la forme $\lambda p$ avec $\lambda\in K$ et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur
ev
Re: Projecteur
il y a cinq mois
avatar
Bonjour, $$

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}

$$ en caractéristique différente de 2.
Merci,
e.v.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
Ou encore \[\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\]en caractéristique quelconque.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
N'importe quel endomorphisme inversible !
ev
Re: Projecteur
il y a cinq mois
avatar
Pas n'importe lequel !

amicalement,

e.v.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
Oui ! N'importe quel automorphisme qui n'est pas une homothétie angry smiley
Re: Projecteur
il y a cinq mois
J'arrive à voir pourquoi l'endomorphisme associé à la matrice d'e.v. a son noyau et son image en somme directe et que ce n'est pas un projecteur. Mais j'arrive pas à voir pourquoi ce n'est pas un multiple d'un projecteur.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
Un multiple d'un projecteur, comme un projecteur, a exactement deux valeurs propres.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
Désolé je ne connais pas encore ce qu'est une valeur propre. Peut-on faire sans ? Par exemple pour voir que la matrice donnée n'était pas celle d'un projecteur, j'ai utilisé que son rang (2) était différent de sa trace (3).
Re: Projecteur
il y a cinq mois
Ah, sans cette idée il faut bricoler un peu. Rappel : un projecteur, c'est un endomorphisme $p$ tel que $p^2=p$ ; l'image et le noyau sont en somme directe ; pour $x$ dans l'image, on a $p(x)=x$.

Supposons que la matrice $A$ d'ev soit celle d'un multiple $\lambda p$ d'un projecteur $p$. Le deuxième vecteur de la base canonique $e_2$ est dans l'image puisque $Ae_2=e_2$. On devrait donc avoir $\lambda p(e_2)=e_2$ et donc, comme $p(e_2)=e_2$ (vu que $e_2$ est dans l'image de $p$), on aurait aussi $\lambda=1$. Le troisième vecteur de la base canonique $e_3$ est dans l'image de $A$ puisque $A\bigl(\frac12e_3\bigr)=e_3$. On devrait donc avoit $\lambda p(e_3)=2e_3$, et en même temps $p(e_3)=e_3$, ce qui donne $\lambda=2$. Ce n'est pas compatible.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Math Coss.
Re: Projecteur
il y a cinq mois
bonjour,
une projecteur c'est presque l'identité sur un sous espace vectoriel: donc ça ressemble a une identité, donc que des 1, pour le dernier point
pour le premier point ici, il suffit de voir que la matrice est diagonale par blocs: une matrice par blocs ou seuls les sous-bloc diagonaux sont des matrices inversibles
Re: Projecteur
il y a cinq mois
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