Projecteur

Bonjour, $$

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}

$$ en caractéristique différente de 2.
Merci,
e.v.

N'importe quel endomorphisme inversible !

Oui ! N'importe quel automorphisme qui n'est pas une homothétie :-X

Un multiple d'un projecteur, comme un projecteur, a exactement deux valeurs propres.

Ah, sans cette idée il faut bricoler un peu. Rappel : un projecteur, c'est un endomorphisme $p$ tel que $p^2=p$ ; l'image et le noyau sont en somme directe ; pour $x$ dans l'image, on a $p(x)=x$.

Supposons que la matrice $A$ d'ev soit celle d'un multiple $\lambda p$ d'un projecteur $p$. Le deuxième vecteur de la base canonique $e_2$ est dans l'image puisque $Ae_2=e_2$. On devrait donc avoir $\lambda p(e_2)=e_2$ et donc, comme $p(e_2)=e_2$ (vu que $e_2$ est dans l'image de $p$), on aurait aussi $\lambda=1$. Le troisième vecteur de la base canonique $e_3$ est dans l'image de $A$ puisque $A\bigl(\frac12e_3\bigr)=e_3$. On devrait donc avoit $\lambda p(e_3)=2e_3$, et en même temps $p(e_3)=e_3$, ce qui donne $\lambda=2$. Ce n'est pas compatible.