Implication ou équivalence ?

rafykfan · July 2019

Bonjour,
Mon exercice.

Démontrer l'implication suivante. Quelque soit A appartenant à P, A union X = E implique X=E (P étant l'ensemble des parties de E)
En posant p:Quelque soit A appartenant à P, A union X = E et q:X=E , p n'est vraie que si q est vraie alors si p est vraie alors q n'est pas fausse ce qui démontre l'implication.
Peut-on écrire Quelque soit A appartenant à P, A union X = E équivalent X=E? peut-on dire : p équivalent q
Faut-il que les vérités de p et q soient indépendantes pour dire qu'elles sont équivalentes ?
Merci pour votre aide

Crapul · July 2019

Donc :
soit $E$ un ensemble, $P$ l'ensemble de ses parties et $X \in P$.
$(p) : \forall A \in P, A \cup X =E$
$(q): X=E$

Dire "p n'est vraie que si q est vraie" c'est déjà, sauf erreur, la même chose que dire que $(p)$ et $(q)$ sont équivalentes.
Pour montrer $(p) \Rightarrow (q)$, il suffit de prendre un $A$ particulier.
Ou alors je ne comprends pas la question.

rafykfan · July 2019

Merci Crapul pour ta réactivité!
Dire "p n'est vraie que si q est vraie" c'est déjà, sauf erreur, la même chose que dire que (p) et (q) sont équivalentes ! Justement il suffit de prendre A= Vide; les autres parties vérifient l'équation pour A=Comp (A) dans E ou bien pour A= E; Et comme c'est une suite de conjonction, si A=Vide A union X n'est vraie que pour X=partie pleine… "E union X=E et A union X=E et B union X=E et … et Vide union X=E n'est vraie que lorsque X=E; donc X=E est une condition nécessaire pour la vérité de p!

Merci encore, mais je ne comprends pas l'intérêt de cet exercice où l'on demande de démontrer cette implication où l'on se rend compte en explicitant p que "p n'est vraie que si q est vraie" (l'exercice se trouve dans un livre de seconde CT, Collection Queysanne-Revuz , édtions Nathan,1971).

Implication ou équivalence ?

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