Ensemble d'applications

Bonjour,
Je suppose que la première partie de ta preuve concerne la surjectivité de $\phi$: Ta démonstration est fausse.
La partie injectivité est juste.

Non, il te faut exhiber une application $f$ qui convient, càd telle que $\varphi (f)=(y_1, \dots ,y_n)$. Que vient faire {1,...n} ici ?

Je propose une autre version. Un élément de $F^n$ est exactement une application de $\{1,\dots,n\}$ vers $F$. En effet, la $n$-liste $(y_1,\dots,y_n)$ est l'application $y$ qui à $i\in\{1,\dots,n\}$ associe $y_i$. Se donner une énumération $\{x_1,\dots,x_n\}$ de $E$, c'est exactement se donner une bijection $\phi:\{1,\dots,n\}\to E$, $i\mapsto x_i$.

Il y a alors une bijection évidente entre les fonctions de $E$ dans $F$ d'une part et $F^n$ de l'autre :

• à une fonction $f\circ\phi:E\to F$, on associe la $n$-liste $f\circ\phi=\bigl(f(x_1),\dots,f(x_n)\bigr)$ ;
• réciproquement, à la $n$-liste $y$, on associe la fonction $y\circ\phi^{-1}$.

Pour résumé le lien entre une fonction $f:E\to F$ et une $n$-liste $y$ [\forall i\in\{1,\dots,n\},\quad y_i=f(x_i).\]Illustration : \[\xymatrix{
\{1,\dots,n\}\ar[rr]^-{\phi}\ar[dr]^-{y}&&E\ar[dl]_-{f}\\
&F
}\]