Ensemble d'applications
Bonsoir à tous, j'aimerais que vous jetiez un coup d’œil à ma démonstration que j'ai écrite sur les différentes feuilles.
Nb : pour le cas E égal à l'ensemble vide, je ne le traite pas car trivial pour moi.
Désolé je n'arrive pas à bien disposer les images.
Merci d'avance pour votre compréhension.
Nb : pour le cas E égal à l'ensemble vide, je ne le traite pas car trivial pour moi.
Désolé je n'arrive pas à bien disposer les images.
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Réponses
Je suppose que la première partie de ta preuve concerne la surjectivité de $\phi$: Ta démonstration est fausse.
La partie injectivité est juste.
la réponse est-elle correcte ?
Ce n'est pas difficile : regarde rigoureusement la définition de la surjectivité pour savoir quoi montrer et relis ça.
F est fini ,posons p=card(F)
si card(E) est inférieur ou égal à card(F) , alors on peut construire une application f qui soit injective tel que l'image d'un élément xi par f soit yi=f(xi) .
donc pour tout (y1,...,yn) élément de Fn , il existe une application f vérifiant phi(f)=(y1,...,yn).
ma dernière rédaction est-elle juste ?
Montrons que $\varphi$ est surjective : soit $y=(y_1 ,\dots ,y_n ) \in F^n$. Alors l'application $f : E \to F$ définie par : $\forall i \in \{ 1, \dots , n \}, f(x_i)=y_i$ est un (l'unique) antécédent de $y$ par $\varphi$. $\varphi$ est donc surjective.
Il y a alors une bijection évidente entre les fonctions de $E$ dans $F$ d'une part et $F^n$ de l'autre :
- à une fonction $f\circ\phi:E\to F$, on associe la $n$-liste $f\circ\phi=\bigl(f(x_1),\dots,f(x_n)\bigr)$ ;
- réciproquement, à la $n$-liste $y$, on associe la fonction $y\circ\phi^{-1}$.
Pour résumé le lien entre une fonction $f:E\to F$ et une $n$-liste $y$ [\forall i\in\{1,\dots,n\},\quad y_i=f(x_i).\]Illustration : \[\xymatrix{\{1,\dots,n\}\ar[rr]^-{\phi}\ar[dr]^-{y}&&E\ar[dl]_-{f}\\
&F
}\]