Sommes de termes à l'infini

2df · July 2019

Bonsoir j'aimerais connaître la formule et la démonstration de la somme de termes à l'infini s'il vous plaît.

jean lismonde · July 2019

bonjour

de quels termes s'agit-il ? veux-tu parler de la somme infinie des nombres entiers ?
on connaît la somme finie des nombres entiers dont le dernier est l'entier n

S(n) = 1 + 2 + 3 +................+ n = n(n+1)/2

La démonstration se fait en inversant l'ordre des nombres :
S(n) = n + (n-1) + (n - 2) +............+ 2 + 1
et en additionnant membre à membre les deux expressions de S(n)

donc cette somme lorsque n tend lui-même vers + oo
va tendre vers + oo comme n²/2 (équivalent asymptotique)

si tu préfères la somme à l'infini de nombres tous égaux à 1
tu obtiens "aleph 0" suivant les indications de Cantor
qui a ainsi baptisé l'infini le plus simple (l'infini linéaire)

cordialement

blasselle · July 2019

Bonjour,

Je pense que 2df fait plutôt référence à la formule : 1+2+3+4+5+... = -1/12

Tout le problème de cette formule réside évidemment dans le sens que l'on donne à cette sommation car :
- La somme : 1+2+3+4+5+... est divergente
- Il n'existe aucune super sommation stable linéaire et régulière permettant de lui attribuer une valeur (car il s'agit là des sommes d'une suite récurrente linéaire dont la somme des coefficients est égale à 1)

Un moyen de trouver cette valeur est de régulariser cette somme par la fonction Zeta de Riemann. Il n'existe pas à ma connaissance de démonstration "simple" de ce résultat et les preuves que l'on trouve sur internet à base de manipulation de sommes divergentes, bien que jolies, sont hélas toutes fausses.

Dom · July 2019

Bon, sans davantage de précisions et d’investissement, ça va être bien difficile de décrypter la question.

Sommes de termes à l'infini

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