Lemme de Riesz sur un dessin
Bonjour à tous,
Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie.
Soit $F$ un sous-$K$-espace vectoriel de $E$ et de dimension finie.
Il existe $x \in E$ unitaire tel que $d(x,F) \ge \frac{1}{2}$.
Preuve : Il existe $y \in E - F$ et $\delta := d(y,F) >0$, il existe donc $u \in F$ tel que $ \| u -y \| \le 2 \delta $
Un calcul montre que $x = \frac{u-y}{\| u-y \|}$ convient.
Doit-on par cœur la démo ou peut-on retrouver $x$ sur un dessin ?
Merci pour votre aide.
Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie.
Soit $F$ un sous-$K$-espace vectoriel de $E$ et de dimension finie.
Il existe $x \in E$ unitaire tel que $d(x,F) \ge \frac{1}{2}$.
Preuve : Il existe $y \in E - F$ et $\delta := d(y,F) >0$, il existe donc $u \in F$ tel que $ \| u -y \| \le 2 \delta $
Un calcul montre que $x = \frac{u-y}{\| u-y \|}$ convient.
Doit-on par cœur la démo ou peut-on retrouver $x$ sur un dessin ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
Ca aide en maths les dessins parfois !
Pour votre idée, $E$ est un espace vectoriel normé. A priori on n'a pas de produit scalaire.
L'idée du confinement est intéressante je me demande où puis je trouver des preuves de ces lemmes de confinement.
- Le résultat est encore vrai en dimension infinie : il faut juste que F ne soit pas dense dans E
- Oui, il y a un dessin qui rend cette preuve claire
Tout d'abord, merci beaucoup.
A-t-on vraiment besoin de savoir que la distance est atteinte ? Il suffit de savoir qu'elle est $>0$ ?
Le dessin est d'une grande clarté tout devient plus claire, j'ai bien fait de demander.
Remarque bien que ces dessins n’ont un sens que si on a un produit scalaire.
Oui
C’est ce que j’explique dans le point 6).
Je n'arrive pas à lier ce que vous avez dit à propos de confinement des vecteurs d'une boule fermé dans un espace de dimension finie, à celle du lemme de Riesz. Est-ce que vous pouvez donner plus de clarification ?