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Lemme de Riesz sur un dessin

Envoyé par Gentil 
Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Bonjour à tous,

Proposition : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie.
Soit $F$ un sous-$K$-espace vectoriel de $E$ et de dimension finie.
Il existe $x \in E$ unitaire tel que $d(x,F) \ge \frac{1}{2}$.

Preuve : Il existe $y \in E - F$ et $\delta := d(y,F) >0$, il existe donc $u \in F$ tel que $ \| u -y \| \le 2 \delta $
Un calcul montre que $x = \frac{u-y}{\| u-y \|}$ convient.

Doit-on par cœur la démo ou peut-on retrouver $x$ sur un dessin ?
Merci pour votre aide.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Je ne vois pas comment tu espères faire un "dessin en dimension 2" pour interpréter un problème venant d'un espace de dimension infinie !
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Lorsqu'on veut prouver qu'une boule ouverte d'un espace métrique est ouverte on fait un dessin et ça aide beaucoup même si une boule ouverte d'un espace métrique n'est pas un cercle sur une feuille.
Ca aide en maths les dessins parfois !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Gentil.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Bonjour,

Il manque des hypothèses même pour la dimension finie.
J'imagine qu'il manque des précisions sur $d$ et sur la nature de l'espace vectoriel.

Contre exemple en dimension finie (et donc facilement en dimension infinie).
Et par conséquent on ne saurait avoir une demonstration juste pour un résultat faux.
Soit $E$ un vectoriel réel de dimension 2, $(e_1,e_2)$ la base canonique, soit $F=vect(e_1)$ et enfin $d$ la distance définie par $d(x,y)=||x-y||/(3(1+||x-y||))$, où $||. ||$ désigne la norme euclidienne $||x||=(x_1^{2}+x_2^{2})^{1/2}, x=x_1e_1+x_2e_2$
Alors $\forall x\in E, \forall y \in F, d(x, y) \le 1/3$ et donc $d(x, F) \le 1/3$.


Dans le cas $K=R$, $E$ muni d'un produit scalaire, .$d$ la distance associée à la norme.
Soit $x$ n'appartenant pas à $F$ et soit $G=vect (F, x)$. On verifie que $G$ est euclidien (et muni du produit scalaire qui est celui qui est la restriction de celui sur $E$).
On peut raisonner dans $G$ qui est de dimension finie. On a alors $G$ somme directe orthogonale de $F$ et de son orthogonal (Orthogonalite définie par le produit scalaire sur $G$) et alors un vecteur de norme 1 de l'orthogal répond à la question.

On peut faire un dessin pour illustrer cette situation avec $G=vect (F, x) $



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Apparemment, d'après Wikipedia, ce lemme (donc avec les bonnes hypothèses) prépare le théorème de Riesz.

Je dirais que l'interprétation géométrique qu'on peut donner à ce lemme qui sort de nulle part, c'est que dans un espace vectoriel de dimension infinie, on n'a pas de lemme de confinement comme en dimension finie (dans la boule unité fermée, le nombre maximal de vecteurs qu'on peut confiner c'est à dire éloignés les uns des autres d'une distance au moins égale à 1 est fini : critère de Cauchy + compacité).

Une démonstration alternative serait donc de montrer que pour un espace de dimension $n$ le nombre de vecteurs qu'on peut y confiner est un entier $r_n$ avec $(r_n)$ suite croissante avec $n$ qui tend vers l'infini.
Et miracle, si on désigne par $r_n$ ce nombre maximal, le lemme de Riesz adapté à la dimension finie permet alors de monter que $r_n +1 \le r_{n+1}$.

Et cette fois-ci ça ne sort pas de nulle part.
Ça donne une interprétation géométrique.
Ainsi ce lemme peut se réinterpréter comme un lemme de non confinement en dimension infinie.

On peut aussi illustrer puis monter le théorème de Riesz avec l'exemple trivial des fonctions $2\pi$ périodiques de carré intégrable, et la base orthonormée $1, \sqrt 2 \cos(nx), \sqrt 2\sin(nx), n\in N^{*} $ où chaque vecteur est distant des autres d'une distance $\sqrt 2$.
Et alors ça donne l'idée naturelle de ce lemme de non confinement pour construire une famille orthonormée avec des vecteurs equidistants les uns des autres comme dans le cas des fonctions $2\pi$ périodiques.

Je ne sais pas si on peut conclure directement sans passer par ce lemme de Riesz. On doit pourvoir construire un homémorphisme entre $F=L^2[0;2\pi]$ vers une partie de $E$ (en considérant une famille dénombrable orthonormée de $E$ ça doit fonctionner) avec l'image de la boule unité fermée de $F$ inclue dans la boule unité fermée de $E$ et conclure (la boule unité de $F$ contient alors un ferme qui n'est pas compact, donc n'est pas un compact).

Donc si l'homeomorphisme existe bien on peut se passer de ce lemme de Riesz, mais en utilisant le non confinement d'une base orthonormée de l'espace des fonctions $z\pi$ périodiques de carré intégrable.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Le but de ce lemme est de construire une suite des vecteurs unitaires à distance les uns des autres $\frac{1}{2}$. Ainsi la boule unité n'est pas compacte en dimension infinie on ne pourrait extraire une suite convergeante de cette suite.

Pour votre idée, $E$ est un espace vectoriel normé. A priori on n'a pas de produit scalaire.
L'idée du confinement est intéressante je me demande où puis je trouver des preuves de ces lemmes de confinement.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
- La distance d(y,F) est la distance à une partie : elle est définie à partir de la norme.
- Le résultat est encore vrai en dimension infinie : il faut juste que F ne soit pas dense dans E
- Oui, il y a un dessin qui rend cette preuve claire



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Colas.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Voilà mes dessins.


Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Bonjour Colas,

Tout d'abord, merci beaucoup.

A-t-on vraiment besoin de savoir que la distance est atteinte ? Il suffit de savoir qu'elle est $>0$ ?

Le dessin est d'une grande clarté tout devient plus claire, j'ai bien fait de demander.
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
Content que ça t’ait aidé.
Remarque bien que ces dessins n’ont un sens que si on a un produit scalaire.

Oui
C’est ce que j’explique dans le point 6).
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a trois mois
et à la fin l'opérateur est compact... mais c'est une longue histoire
Re: Lemme de Riesz sur un dessin
il y a deux mois
avatar
@side

Je n'arrive pas à lier ce que vous avez dit à propos de confinement des vecteurs d'une boule fermé dans un espace de dimension finie, à celle du lemme de Riesz. Est-ce que vous pouvez donner plus de clarification ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
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