Apparemment, d'après Wikipedia, ce lemme (donc avec les bonnes hypothèses) prépare le théorème de Riesz.
Je dirais que l'interprétation géométrique qu'on peut donner à ce lemme qui sort de nulle part, c'est que dans un espace vectoriel de dimension infinie, on n'a pas de lemme de confinement comme en dimension finie (dans la boule unité fermée, le nombre maximal de vecteurs qu'on peut confiner c'est à dire éloignés les uns des autres d'une distance au moins égale à 1 est fini : critère de Cauchy + compacité).
Une démonstration alternative serait donc de montrer que pour un espace de dimension $n$ le nombre de vecteurs qu'on peut y confiner est un entier $r_n$ avec $(r_n)$ suite croissante avec $n$ qui tend vers l'infini.
Et miracle, si on désigne par $r_n$ ce nombre maximal, le lemme de Riesz adapté à la dimension finie permet alors de monter que $r_n +1 \le r_{n+1}$.
Et cette fois-ci ça ne sort pas de nulle part.
Ça donne une interprétation géométrique.
Ainsi ce lemme peut se réinterpréter comme un lemme de non confinement en dimension infinie.
On peut aussi illustrer puis monter le théorème de Riesz avec l'exemple trivial des fonctions $2\pi$ périodiques de carré intégrable, et la base orthonormée $1, \sqrt 2 \cos(nx), \sqrt 2\sin(nx), n\in N^{*} $ où chaque vecteur est distant des autres d'une distance $\sqrt 2$.
Et alors ça donne l'idée naturelle de ce lemme de non confinement pour construire une famille orthonormée avec des vecteurs equidistants les uns des autres comme dans le cas des fonctions $2\pi$ périodiques.
Je ne sais pas si on peut conclure directement sans passer par ce lemme de Riesz. On doit pourvoir construire un homémorphisme entre $F=L^2[0;2\pi]$ vers une partie de $E$ (en considérant une famille dénombrable orthonormée de $E$ ça doit fonctionner) avec l'image de la boule unité fermée de $F$ inclue dans la boule unité fermée de $E$ et conclure (la boule unité de $F$ contient alors un ferme qui n'est pas compact, donc n'est pas un compact).
Donc si l'homeomorphisme existe bien on peut se passer de ce lemme de Riesz, mais en utilisant le non confinement d'une base orthonormée de l'espace des fonctions $z\pi$ périodiques de carré intégrable.
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