Matrice à coefficients entiers

Bonjour,

Je m'excuse pour ma réponse tardive et vous remercie pour votre aide.
Par contre je ne comprends pas votre réponse @slide. Vous dites dans la première partie de votre réponse. Vous supposez au début que toutes les racines sont nulles et vous concluez que les valeurs propres sont de module $1$. Mais les racines sont exactement les valeurs propres non ?
Si toutes les racines sont nulles, n'aurait-on pas $\chi _{A}=X^{n}$ ? ( ou $\chi _{A}=(-1)^{n}X^{n}$ ) je ne comprends pas votre raisonnement avec le module inférieur ou égal à 1.

Je vais essayer avec votre indication et celle de @blasselle. Supposons que la valeur propre $0$ est de multiplicité $k \geq 1$. Supposons qu'il va rester $m\geq 1$ valeurs propres non nulles et distinctes deux à deux, qu'on note $\lambda _{1},...,\lambda _{m}$ et dont la multiplicité est respectivement $\alpha _{1},...,\alpha _{m}$ . Posons : $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha ^{i}}$. Alors en prenant $\sigma _{N}=\sum_{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq N}^{}{\lambda _{i_{1}}...\lambda _{i_{N}}}$ on a : $\sigma _{N}=\prod_{i=1}^{m}{\lambda _{i}^{\alpha _{i}}}=(-1)^{N}a_{n-N}$ ( le polynôme caractéristique est unitaire ). Donc : $\left| a_{n-N}\right|\leq 1$ et $\left| a_{n-N}\right| \neq 0$ donc $\left| a_{n-N}\right| =1$, donc le produit des valeurs propres non nulles ( à la puissance leur multiplicité ) est de module 1 donc toutes les valeurs propres non nulles sont de module 1.

Vous en pensez quoi s'il vous plait ?

A propos de votre réponse @reuns. Pourquoi $P(0)\neq 0$ s'il vous plait ? Si 0 est une valeur propre nulle alors cela veut dire que la matrice n'est pas injective et donc son déterminant est 0 non ?

Je pense que j'aurais besoin du théorème de Kronecker, car après cette question, il est demandé de montrer que toute valeur propre non nulle est une racine de l'unité. Vu que le polynôme caractéristique est à coefficients entiers, alors toute valeur propre est un entier algébrique dont le conjugué est une racine du polynome caractéristique et dont est une valeur propre et donc de module 1.

Mais je ne sais pas si c'est nécessaire, car c'est un oral de Centrale...

J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois.

Merci d'avance,

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Je comprends maintenant la démonstration de reuns. Sinon, j'ai suivi l'indication de blasselle et la votre et j'ai rédigé la démonstration qui figure dans le post précédent, vous pensez qu'elle est correcte s'il vous plaît ?

J'ai essayé de suivre le cheminement que vous proposez pour le théorème de Kronecker mais je ne vois pas le lien entre la bornitude des fonctions symétriques et la finitude des polynômes unitaires de degré $n$ dont toutes les racines sont bornées par $1$.

Merci d'avance,

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Oui je m'excuse, déjà $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$ et puis $\sigma _{N}=\sum_{1\leq i_{1}\prec ...\prec i_{N}\leq n}^{}{\lambda _{i_{1}}...\lambda _{i_{N}}}$.
Comme vous l'avez dit certaines valeurs propres peuvent se répéter à cause de leur multiplicité, c'est pour cela que j'ai choisi le $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$.
On a alors : $\sigma _{N}=\prod_{i=1}^{m}{\lambda _{i}^{\alpha _{i}}}$ . Car la seule fois où il n'y aura pas de zéro, c'est lorsque toutes les valeurs propres seront répétées avec leur multiplicité.

Lorsque vous avez parler de $M^{p}$ vous m'avez rappelé qu'on peut faire une chose, mais je ne sais pas si cela va aboutir (du moins, je ne vois pas comment) :
Vu que toutes les valeurs propres sont bornées par $1$, alors on peut dire que pour tout $k\in \mathbb{N}$ on a $\left| tr(A^{k})\right|\leq \sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$ , donc par théorème de Bolzano-Weierstrass, on a $(\sum_{i=1}^{p}{\mu _{i}^{\varphi (k)}})_{k}$ converge, avec $\mu _{1},...,\mu _{p}$ les valeurs propres non nulles répétées avec leur multiplicité. Or pour tout $j$ entre $1$ et $p$ on a $\left| \mu _{j}\right|=1$ , donc $\exists \theta _{j}\in \mathbb{R}$ tel que $\mu _{j}=e^{i\theta _{j}}$. Et vu que les traces sont des entiers, alors la suite est stationnaire.
Donc $(\sum_{j=1}^{p}{e^{i\varphi (k)\theta _{j}}})_{k}$ est stationnaire à partir d'un certain rang.

Mais je ne sais pas si on peut exploiter cela.