Bonjour
Je bloque sur un exercice portant sur les matrices à coefficients entiers.

Soit $A$ une matrice à coefficients dans $\mathbb{Z}$ dont les valeurs propres sont toutes de module inférieur à $1$. On montre que pour tout $k \in \mathbb{N}$ on a $\mathrm{Tr}(A^{k}) \in \mathbb{Z}$, et que $\chi _{A}\in \mathbb{Z}[X]$.
Et je veux montrer que toute valeur propre non nulle est de module exactement 1.

En essayant de raisonner sur la divisibilité dans $\mathbb{Z}$ je n'arrive pas à grand chose car les valeurs propres sont complexes. J'ai essayé l'inégalité triangulaire dans $\chi _{A}(\lambda )=0$ et en divisant par $\lambda $ mais je n'obtiens rien. Je me demande si je devrais raisonner sur la suite des traces, car elle est bornée donc on peut extraire une sous-suite convergente, et elle est stationnaire car c'est une suite d'entiers. Mais ça ne me donne rien.
Pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice s'il vous plaît ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Soit $\lambda_1,...,\lambda_n$ les valeurs propres de $A$ (répétées si nécessaires : on peut avoir $x,x$ dans la liste par exemple).

Peux-tu montrer que $\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^k)$ est à coefficients entiers ? Peux-tu borner ses coefficients ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell

Bonjour
Tu peux sûrement utiliser le fait qu'il y a un lien entre le produit des valeurs propres et les coefficients du polynôme caractéristique. :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Ah, j'avais mal lu la question, effectivement si tu ne cherches qu'à déterminer le module, suis l'indication de blasselle et pas la mienne !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell

Bonjour,

Blasselle a repondu
Si vous avez a disposition le théorème de Kronecker, le preuve est facile.
Sinon vous pouvez utiliser les fonctions symétriques des racines.
Si toutes les racines sont (correction) NONnulles, le coefficient de plus bas degré est nécessairement égal à 1 ou-1 (car non nul et de valeur absolue inférieure ou égale à 1) puis toutes les valeurs propres sont de module 1.
Dans le cas où k racines sont nulles considèrez une fonction symétrique bien choisie qui ne comporte qu'un terme non nul qui vous permet de reproduire cette démonstration.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.

Soit $P(x) = \det(xI-A)$

Soit $k$ la multiplicité de $0$ dans $P$ on a $x^{-k} P(x) = \prod_j (x-\lambda_j)^{e_j} \in \Bbb{Z}[x]$

où les $\lambda_j$ sont les valeurs propres non-nulles et $e_j$ leur multiplicité dans le polynôme caractéristique.

On nous dit que $\forall j,|\lambda_j| \le 1$.

$|P(0)| \in \Bbb{Z}$ et $|P(0)| \ne 0$ et $|P(0)| \le \prod_j |\lambda_j|^{e_j} \le 1$ donc $|P(0)| = 1$

ce qui implique $|\lambda_j| = 1$.

---

Le théorème de Kronecker dit plus : que $\lambda_1$ est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module $1$ implique que $\lambda_1 = e^{2i \pi a/b}$.

Par exemple $\frac{2^{1/4} + i}{\sqrt{2^{1/2}+1}}$ est un entier algébrique de module $1$ mais pas une racine de l'unité parce que son conjugué $\frac{i 2^{1/4} - i}{\sqrt{i 2^{1/2}+1}}$ n'est pas de module $1$



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.

Bonjour,

Je m'excuse pour ma réponse tardive et vous remercie pour votre aide.
Par contre je ne comprends pas votre réponse @slide. Vous dites dans la première partie de votre réponse. Vous supposez au début que toutes les racines sont nulles et vous concluez que les valeurs propres sont de module $1$. Mais les racines sont exactement les valeurs propres non ?
Si toutes les racines sont nulles, n'aurait-on pas $\chi _{A}=X^{n}$ ? ( ou $\chi _{A}=(-1)^{n}X^{n}$ ) je ne comprends pas votre raisonnement avec le module inférieur ou égal à 1.

Je vais essayer avec votre indication et celle de @blasselle. Supposons que la valeur propre $0$ est de multiplicité $k \geq 1$. Supposons qu'il va rester $m\geq 1$ valeurs propres non nulles et distinctes deux à deux, qu'on note $\lambda _{1},...,\lambda _{m}$ et dont la multiplicité est respectivement $\alpha _{1},...,\alpha _{m}$ . Posons : $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha ^{i}}$. Alors en prenant $\sigma _{N}=\sum_{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq N}^{}{\lambda _{i_{1}}...\lambda _{i_{N}}}$ on a : $\sigma _{N}=\prod_{i=1}^{m}{\lambda _{i}^{\alpha _{i}}}=(-1)^{N}a_{n-N}$ ( le polynôme caractéristique est unitaire ). Donc : $\left| a_{n-N}\right|\leq 1$ et $\left| a_{n-N}\right| \neq 0$ donc $\left| a_{n-N}\right| =1$, donc le produit des valeurs propres non nulles ( à la puissance leur multiplicité ) est de module 1 donc toutes les valeurs propres non nulles sont de module 1.

Vous en pensez quoi s'il vous plait ?

A propos de votre réponse @reuns. Pourquoi $P(0)\neq 0$ s'il vous plait ? Si 0 est une valeur propre nulle alors cela veut dire que la matrice n'est pas injective et donc son déterminant est 0 non ?

Je pense que j'aurais besoin du théorème de Kronecker, car après cette question, il est demandé de montrer que toute valeur propre non nulle est une racine de l'unité. Vu que le polynôme caractéristique est à coefficients entiers, alors toute valeur propre est un entier algébrique dont le conjugué est une racine du polynome caractéristique et dont est une valeur propre et donc de module 1.

Mais je ne sais pas si c'est nécessaire, car c'est un oral de Centrale...

J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois.

Merci d'avance,

Bonjour,

Coquille corrigée dans mon post : c'était NON nulles.
La démonstration de reuns (même si c'est le même principe) est la plus claire mais comporte également une coquille, ce n'est pas $P(0)$ qu'il faut lire mais $Q(0)$ où $Q$ est le polynôme à coefficients entiers qu'il introduit $X^{-k}P$.

En fait ce qu'on vous demande de montrer c'est le théorème de Kronecker.
P est un polynôme caractéristique donc unitaire.
Démontrez que les fonctions symétriques des racines sont bornées si toutes les racines sont de modules bornées par 1 et que par conséquent le nombre de polynômes unitaires de degré $n$ dont toutes les racines sont bornées par 1 est fini.
Puis montrer qu'une racine ne peut pas être non racine de l'unité



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
Je comprends maintenant la démonstration de reuns. Sinon, j'ai suivi l'indication de blasselle et la votre et j'ai rédigé la démonstration qui figure dans le post précédent, vous pensez qu'elle est correcte s'il vous plaît ?

J'ai essayé de suivre le cheminement que vous proposez pour le théorème de Kronecker mais je ne vois pas le lien entre la bornitude des fonctions symétriques et la finitude des polynômes unitaires de degré $n$ dont toutes les racines sont bornées par $1$.

Merci d'avance,

Bonjour,

J'avoue que j'ai du mal à lire cette preuve car il y a des erreurs de notation : coquille dans la définition de $N$, le calcul de $\sigma_N$ utilise des $\lambda_{indices}$ qui n'ont pas été définis, la définition de $\sigma_N$, c'est $i_N\le n$ et non $i_m \le N$ et toutes les inégalités sauf la première et la dernière sont strictes...
Vous aurez du mal à passer de cette définition au calcul car, dans la définition de $\sigma_N$ une racine multiple peut apparaître plusieurs fois (la raison peut être pour avoir mis des inégalités larges entre indices d'indices).

À moins que quelque chose m'échappe dans votre choix de notations ?
Peut-être qu'un membre du forum peut infirmer ce que j'ai écrit si jai une compréhension erronée.

Sinon suivez l'indication de reuns plutôt que la mienne, vous éviterez tous ces problèmes de notation.


Pour la 2eme partie je n'avais pas compris que c'était pour un oral. On ne vous demandera pas de connaître la démonstration d'un tel résultat qui utilise les polynômes symétriques de plusieurs variables à coefficients dans un anneau.

Ce qui est sans doute attendu :
Montrez que le cardinal de l'ensemble E = polynômes unitaires à coefficients entiers dont toutes les racines sont de module 1, est fini : voir post précédent
Montrez que pour tout $p$, le polynôme caracteristique de $M^p$ est dans E et en considérant ses valeurs propres, en déduire que toutes les valeurs propres de M sont des racines de l'unité.



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par side.

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Oui je m'excuse, déjà $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$ et puis $\sigma _{N}=\sum_{1\leq i_{1}\prec ...\prec i_{N}\leq n}^{}{\lambda _{i_{1}}...\lambda _{i_{N}}}$.
Comme vous l'avez dit certaines valeurs propres peuvent se répéter à cause de leur multiplicité, c'est pour cela que j'ai choisi le $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$.
On a alors : $\sigma _{N}=\prod_{i=1}^{m}{\lambda _{i}^{\alpha _{i}}}$ . Car la seule fois où il n'y aura pas de zéro, c'est lorsque toutes les valeurs propres seront répétées avec leur multiplicité.

Lorsque vous avez parler de $M^{p}$ vous m'avez rappelé qu'on peut faire une chose, mais je ne sais pas si cela va aboutir (du moins, je ne vois pas comment) :
Vu que toutes les valeurs propres sont bornées par $1$, alors on peut dire que pour tout $k\in \mathbb{N}$ on a $\left| tr(A^{k})\right|\leq \sum_{i=1}^{m}{\alpha _{i}}$ , donc par théorème de Bolzano-Weierstrass, on a $(\sum_{i=1}^{p}{\mu _{i}^{\varphi (k)}})_{k}$ converge, avec $\mu _{1},...,\mu _{p}$ les valeurs propres non nulles répétées avec leur multiplicité. Or pour tout $j$ entre $1$ et $p$ on a $\left| \mu _{j}\right|=1$ , donc $\exists \theta _{j}\in \mathbb{R}$ tel que $\mu _{j}=e^{i\theta _{j}}$. Et vu que les traces sont des entiers, alors la suite est stationnaire.
Donc $(\sum_{j=1}^{p}{e^{i\varphi (k)\theta _{j}}})_{k}$ est stationnaire à partir d'un certain rang.

Mais je ne sais pas si on peut exploiter cela.

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