Bonjour,
Je m'excuse pour ma réponse tardive et vous remercie pour votre aide.
Par contre je ne comprends pas votre réponse @slide. Vous dites dans la première partie de votre réponse. Vous supposez au début que toutes les racines sont nulles et vous concluez que les valeurs propres sont de module $1$. Mais les racines sont exactement les valeurs propres non ?
Si toutes les racines sont nulles, n'aurait-on pas $\chi _{A}=X^{n}$ ? ( ou $\chi _{A}=(-1)^{n}X^{n}$ ) je ne comprends pas votre raisonnement avec le module inférieur ou égal à 1.
Je vais essayer avec votre indication et celle de @blasselle. Supposons que la valeur propre $0$ est de multiplicité $k \geq 1$. Supposons qu'il va rester $m\geq 1$ valeurs propres non nulles et distinctes deux à deux, qu'on note $\lambda _{1},...,\lambda _{m}$ et dont la multiplicité est respectivement $\alpha _{1},...,\alpha _{m}$ . Posons : $N=\sum_{i=1}^{m}{\alpha ^{i}}$. Alors en prenant $\sigma _{N}=\sum_{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq N}^{}{\lambda _{i_{1}}...\lambda _{i_{N}}}$ on a : $\sigma _{N}=\prod_{i=1}^{m}{\lambda _{i}^{\alpha _{i}}}=(-1)^{N}a_{n-N}$ ( le polynôme caractéristique est unitaire ). Donc : $\left| a_{n-N}\right|\leq 1$ et $\left| a_{n-N}\right| \neq 0$ donc $\left| a_{n-N}\right| =1$, donc le produit des valeurs propres non nulles ( à la puissance leur multiplicité ) est de module 1 donc toutes les valeurs propres non nulles sont de module 1.
Vous en pensez quoi s'il vous plait ?
A propos de votre réponse @reuns. Pourquoi $P(0)\neq 0$ s'il vous plait ? Si 0 est une valeur propre nulle alors cela veut dire que la matrice n'est pas injective et donc son déterminant est 0 non ?
Je pense que j'aurais besoin du théorème de Kronecker, car après cette question, il est demandé de montrer que toute valeur propre non nulle est une racine de l'unité. Vu que le polynôme caractéristique est à coefficients entiers, alors toute valeur propre est un entier algébrique dont le conjugué est une racine du polynome caractéristique et dont est une valeur propre et donc de module 1.
Mais je ne sais pas si c'est nécessaire, car c'est un oral de Centrale...
J'espère que vous pourrez m'aider encore une fois.
Merci d'avance,