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Une matrice non positive

Envoyé par Tonm 
Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Salut, prouver que la matrice $\begin{pmatrix}A+B&B&C\\B&C+A&A\\C&A&B+C\end{pmatrix} $ n'est jamais semi-définie positive.

Salut, prouver que la matrice $\begin{pmatrix}C&B&C\\B&B&A\\C&A&A\end{pmatrix} $ n'est jamais semi-définie positive sauf pour $A=B=C$.

[Pour la incompréhension des premières réponses, il est préférable de laisser l'énoncé initial. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Tonm.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

En supposant $A,B,C$ réels, c’est évidemment faux.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Oui, ce sont des matrices de même taille.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Oui quel faute, bon si vous supprimer ce fil (Amis AD ou quelqu'un)
Merci
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Je vois pourquoi c'est faux : pour $B=C=1$, le spectre est $(4,1,1)$ pour $A=1$ et le déterminant est négatif pour $A=0$ « donc » pour une valeur de $A$ convenable, il y a exactement une valeur propre nulle et les autres positives.
Je ne vois pas pourquoi c'est « évidemment faux » (avec moins de calculs, quoi).
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

On suppose $A,B,C$ réels, la trace, qui est égale à la somme des valeurs propres - toutes réelles puisque la matrice est symétrique et réelle - vaut $2(A+B+C)$ et prend donc des valeurs négatives : une au moins des valeurs propres est alors strictement négative.

@math cross : valides-tu ce raisonnement sans calcul compliqué ?
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Oui : la somme de trois fonctions linéaires de $A$, $B$ et $C$, ça passe. Cependant, on peut simplifier encore puisque la valeur de la forme quadratique en $(1,0,0)$ est $A+B$.

Toutefois, il ne m'était pas venu à l'idée de prendre des valeurs négatives pour $A$, $B$ ou $C$.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Super Math Coss et Yves
Merci Je pense corriger l'énoncé
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

C’est encore immédiatement et évidemment faux. A moins que tu trouves mon raisonnement faux ?
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Eh quel raisonnement?
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Celui que tu n’as pas lu.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Si, mais quel est la contradiction, je suis loin du trivial.
Merci pour tout cas.
Dom
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Un des implicites de la démonstration est que si une des valeurs propres est négative, alors ça entraîne une valeur image (de quoi ?) au moins négative.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Rien encore:)
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Si $u$ est vecteur propre de la matrice $M$ et $\lambda<0$ est sa valeur propre strictement négative, alors $u^TMu=\lambda ||u||^2<0$...
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour, je ne sais pas mais on veut une matrice semi-definie positif par bloc tel que j'ai écris dans le Edit mais tel que $A$, $B$ et $C$ ne soit pas identique bien qu'ils devront être positive semi-définie. Si la matrice est en dimension $3$ c'est impossible...
Cordialement
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Quand tu écris ‘je ne sais pas’ c’est juste, le reste est faux. Mais bon le problème est que tu ne comprends pas les définitions et que tu ne fais pas de raisonnements mathématiques. Une bonne recette pour prendre ton temps et le notre.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Je repete la matrice n'est jamais positive semi-définie si $A$, $B$ et $C$ ne sont pas identiques Vrai
Faux ?
P.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Si $r$ est un entier, soit $P$ l'ensemble des matrices definies positives d'ordre $r$ et $P_0$ l'ensemble des matrices semi definies positives d'ordre $r$. Soit $A,B,C\in P_0$ telles que
$$M=\left[\begin{array}{ccc}A&A&C\\A&B&B\\C&B&C\end{array}\right]$$ soit semi definie positive. Alors $A=B=C$. En effet:

Supposons d'abord $A,B,C\in P.$ Alors $\left[\begin{array}{ccc}A&A\\A&B\end{array}\right]$ est definie positive et donc $A-AB^{-1}A\in P_0$, et donc $B-A\in P_0.$ De meme $C-B$ et $A-C$ sont dans $P_0$, et comme $(B-A)+(C-B)+(A-C)=0,$ cela entraine $(B-A)=(C-B)=(A-C)=0.$ Passons au cas general. Soit $$J=\left[\begin{array}{ccc}I_r&I_r&I_r\\I_r&I_r&I_r\\I_r&I_r&I_r\end{array}\right]$$ Alors $J$ est semi definie positive et donc $M+J$ egalement. Comme $A+I_r, B+I_r, C+I_r$ sont dans $P,$ d'apres le raisonnement precedent $A+I_r= B+I_r= C+I_r$ et donc $A=B=C.$
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Bonsoir
juste pour savoir: l'adjectif "défini" cela implique bien que pour qu'il n'existe pas de vecteur qui annule la forme quadratique associée à la matrice ? car si c'est le cas ... la matrice "J" est "semi-définie?" ou plutôt "non négative" car de rang 1.
P.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
$J$ est de rang $r.$
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
avatar
Ça c'est bonne et $A^{-1}\ge B^{-1}$ implique que $B\ge A$ ($B-A\in P_0$) ce n'est pas directe non. (une preuve simple existe pour ça si vous voulez?)
Merci j'ai une solution spécialement calculatoire mais tous revient au cycle $A, B, C$.
Edit

Je me rend compte que par chois de block tu as prouvez $A^{-1}\ge B^{-1}$ implique que $B\ge A$ . Ce n'est pas facile en générale il y a des preuves compliqué!



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Tonm.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Ah pardon... j'ai confondu avec la matrice ne contenant que des "1" désolé.
néanmoins ce qui me gêne c'est que la matrice n'est pas inversible: elle possède au moins 2 colonnes identiques
je parle de $J$
P.
Re: Une matrice non positive
il y a deux mois
Que $J$ soit semi definie positive merite peut etre la demonstration suivante: si $x=(x_1,\ldots,x_r), y=(y_1,\ldots,y_r), z=(z_1,\ldots,z_r),$ alors $$(x,y,z)J(x,y,z)^T=\sum_{I=1}^r(x_i+y_i+z_i)^2\geq 0.$$
Re: Une matrice non positive
le mois dernier
je suis d'accord avec cela, la terminologie est parfois trompeuse (encore plus lorsque je me suis donné une vision imprécise)
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