Déterminant et produit tensoriel

Bonjour
je voudrais avec un produit tensoriel prouver que le déterminant $4\times 4$ de $\begin{vmatrix}A&B\\-3B&A\end{vmatrix}$
vaut $(\det A+3\det ^2$
$A$ et $B$ étant des matrices $2\times 2$ qui commutent.
Ce n'est donc pas bêtement un produit de Kronecker
pour info $A=\begin{pmatrix}a&b\\5b&a\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}c&d\\5d&c\end{pmatrix}$ mais ça n'a pas d'importance sauf que le $2\times 2$ donne le carré.

Ça se fait très bien avec un développement par blocs $2\times 2$ (je recommande d'ailleurs aux collègues cette très jolie application de cette formule) mais je voudrais une solution qui fasse intervenir un produit tensoriel car ça me semble plus naturel sauf que je ne maîtrise pas du [tout] la chose.
Merci.