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Rang et déterminant

Envoyé par permaths 
Rang et déterminant
l’an passé
Bonjour,
Si on travaille sur des matrices carrées n par n,

Rg(A)=n est-il équivalent à det(A) non nul ?
Et surtout pourquoi ? spinning smiley sticking its tongue out
Re: Rang et déterminant
l’an passé
Oui. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul si et seulement si elle est surjective si et seulement si son rang est maximal.
Re: Rang et déterminant
l’an passé
Ça dépend de tes définitions, mais pour l'intuition je pense que c'est bien de commencer par les volumes.

Dans $M_n(\R)$ on peut définir $|\det(M)|$ comme $Vol(M[-1/2,1/2]^n)$ le volume de l'image par $M$ du cube $[-1/2,1/2]^n$.

$M[-1/2,1/2]^n$ est un parallélépipède. Soit il est de volume nul et $M$ n'est pas surjective.

Soit il est de volume non nul donc il contient un cube $[0,r]^n$ et en écrivant $r e_j =M v_j = M\sum_i c_{j,i}e_i$ on a que $(M^{-1})_{j,i} =r^{-1}c_{j,i}$ est l'inverse de $M$.

Ensuite on montre qu'avec $f(v_1,\ldots,v_n)$ la forme $n$-linéaire alternée qui satisfait $f(e_1,\ldots,e_n)=1$ on a $|\det(M)| = |f(M_1,\ldots,M_n)|$ où les $M_j \in \R^n$ sont les colonnes de $M$.

Si t'as un parallélogramme de surface $1$, en le découpant en plusieurs triangles tu peux les translater pour former un carré de surface $1$.
C'est pareil pour un parallélépipède. Et comme le volume de l'image par $M$ est invariant par translation on a que $|\det(M)| = Vol(MP)$ pour n'importe quel parallélépipède $P$ de volume $1$. On a $M [-1/2,1/2] = |\det(M)| P$ où $P$ est un parallélépipède de volume $1$ et $|\det(NM)| = Vol(N M [-1/2,1/2]) = Vol(N |\det(M)|P) = |\det(M)| Vol(NP) = |\det(M)| |\det(N)|$.



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