Rang et déterminant

Ça dépend de tes définitions, mais pour l'intuition je pense que c'est bien de commencer par les volumes.

Dans $M_n(\R)$ on peut définir $|\det(M)|$ comme $Vol(M[-1/2,1/2]^n)$ le volume de l'image par $M$ du cube $[-1/2,1/2]^n$.

$M[-1/2,1/2]^n$ est un parallélépipède. Soit il est de volume nul et $M$ n'est pas surjective.

Soit il est de volume non nul donc il contient un cube $[0,r]^n$ et en écrivant $r e_j =M v_j = M\sum_i c_{j,i}e_i$ on a que $(M^{-1})_{j,i} =r^{-1}c_{j,i}$ est l'inverse de $M$.

Ensuite on montre qu'avec $f(v_1,\ldots,v_n)$ la forme $n$-linéaire alternée qui satisfait $f(e_1,\ldots,e_n)=1$ on a $|\det(M)| = |f(M_1,\ldots,M_n)|$ où les $M_j \in \R^n$ sont les colonnes de $M$.

Si t'as un parallélogramme de surface $1$, en le découpant en plusieurs triangles tu peux les translater pour former un carré de surface $1$.
C'est pareil pour un parallélépipède. Et comme le volume de l'image par $M$ est invariant par translation on a que $|\det(M)| = Vol(MP)$ pour n'importe quel parallélépipède $P$ de volume $1$. On a $M [-1/2,1/2] = |\det(M)| P$ où $P$ est un parallélépipède de volume $1$ et $|\det(NM)| = Vol(N M [-1/2,1/2]) = Vol(N |\det(M)|P) = |\det(M)| Vol(NP) = |\det(M)| |\det(N)|$.