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Matrice diagonale des variances

Envoyé par André49 
Matrice diagonale des variances
il y a dix mois
Bonjour

On se donne une matrice $X$ de $n$ lignes (individus) et $p$ colonnes (variables) à valeurs réelles (observations). On définit une matrice diagonale de taille $n$, $D_w$, contenant des « poids » $w_i$ associés aux individus, avec le critère usuel $\sum{w_i}=1$. On désigne par $1_n$ le vecteur colonne de taille $n$ ne contenant que des $1$.

À partir de ce petit matériel, on peut calculer, de façon matricielle, le vecteur colonne $G$ de taille $p$ contenant les $p$ moyennes (pondérées) des $p$ variables : $$G=X^T D_w 1_n.
$$ Ceci permet de passer, toujours de façon matricielle, de la matrice initiale $X$ à la matrice $Y$ des données centrées : $$
Y=X – 1_n G^T.
$$ Et, grâce à $Y$, on peut obtenir, encore de façon matricielle, la matrice $V$ de variance-covariance : $$V=Y^T D_w Y.
$$ Jusque-là, tout va bien. Mais je me demande, et je ne trouve pas, s’il serait possible, de façon matricielle, d’obtenir juste la matrice diagonale des variances…
Merci pour toute idée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.
Re: Matrice diagonale des variances
il y a dix mois
avatar
Si tu veux la diagonale de $V$ par exemple le terme ${v_{i,i} }$tu multiplie $V$ par la matrice élémentaire $e_{i,i}$ à gauche et a droite ($Ye_{i,i}$)?
Pas d'autre chose je crois.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par Tonm.
Re: Matrice diagonale des variances
il y a dix mois
Merci Tonm, ça semble effectivement le plus simple. J'avais imaginé un truc plus compliqué :

Une fois $Y$ calculée, j'avais pensé récupérer la $j^{\,ème}$ colonne en utilisant le vecteur adéquat, $e_j$, de la base canonique :
$$Y_j=Y e_j$$ Puis calculer la valeur $\sigma_j^2$ par $Y_j^T D_w Y_j$ et enfin construire ma matrice diagonale des variances par des produits avec les matrices élémentaires :
$$\sum{\sigma_j^2 E_{j,j}}$$
Mais ta façon est nettement meilleure... Il suffit ensuite de sommer.
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