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Équation entre parties d'un ensemble

Envoyé par rafykfan 
Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Bonjour
Un petit exercice, je voudrais vérifier ce que j'ai fait !
Merci pour votre aide ou vos remarques !

A et B étant des parties de E ; trouver toutes les parties X de E telles que A union X = B.

Le problème a-t-il toujours des solutions ? Si ce problème admet une solution X, cette solution est-elle unique ?
Le problème n'a de solutions que si A est inclus dans B.
Si A inter X est vide alors on a une solution unique à savoir le complémentaire de A dans B.
Si A inter X n'est pas vide alors le nombre de solutions est égal à 2(puissance cardinal de A) - 2 ! est-ce correct ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Partie
l’an passé
Ta réponse n'a pas beaucoup de sens. Tu cherches des conditions pour qu'il existe des $X$ solutions, et tu donnes ces conditions en fonction de $X$ !
Re: Partie
l’an passé
Merci Poirot,
Je ne sais comment résoudre la question autrement! X est une partie de E telle que A union X = E ; Pour que X existe il faut et il suffit que A soit inclus dans B; X dans ce cas est sûrement une partie de B; cette partie pouvant ou non intersecter A! Bon je n'ai compris pourquoi ça manque de sens mais ce dont je suis sûr c'est que tu as certainement raison! Je demande juste un conseil ou une explication sur ce dont pourquoi ça manque de sens! C'est généreux de ta part; merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par rafykfan.
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
On attend une réponse de la forme "les solutions sont ..."; avec un raisonnement justificatif.

Cordialement.

NB : "e demande juste un conseil ou une explication sur ce dont pourquoi ça manque de sens"; Poirot a déjà répondu.
Ensemble vide
l’an passé
Bonjour à tous
Je bloque sur une question triviale pour certains certainement.

Soit P l'ensemble des parties d'un ensemble E; A étant un élément de P, A union {E, ensemble vide} = E ?
Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Ensemble Vide
l’an passé
L'inclusion de gauche dans droite impliquerait que $E\in E$ et $\emptyset \in E$ : ce n'est pas le cas en général (voire jamais pour le premier)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Ensemble Vide
l’an passé
Merci Maxtimax;
Une question en lien avec ce problème, comment démontrer que "quelque soit A appartenant à P" A union X= E implique X=E?
J'ai essayé de faire mais je ne suis pas sûr, l'assertion de gauche n'est vraie quelque soit A de P que si X= E; je ne comprends pas le fait que la vérité de X=E est condition nécessaire à la vérité de "gauche"; Peut-on parler d'équivalence ou de bi-implication?
Re: Ensemble Vide
l’an passé
Bonjour.

Tu as à démontrer une implication, tu le fais. le fait que ce soit en fait une équivalence (*) n'a rien à voir avec la question posée.
Et en prenant, parmi tous les sous-ensembles A possibles, un cas particulier, l'implication est immédiatement démontrée (**).

Bon travail personnel .

Cordialement.

(*) la réciproque est évidente.
(**) quand une propriété est vraie "pour tout A", elle est vraie dans chaque cas particulier de A.
Re: Ensemble Vide
l’an passé
Merci gerad0
Si on veut démontrer que p implication q est vraie, il suffit de démontrer que si p est vraie alors q n'est pas fausse. Or p n'est vraie que si q est vraie! Puisque c'est une conjonction, pour l'ensemble vide, vide union X= E n'est vraie que si X=E, donc p n'est vraie que si X=E; ce que je ne comprends pas c'est qu'on a pris X=E comme possibilité pour avoir p vraie et qu'on cherche à voir ensuite si X=E est vraie pour tester l'implication!
Re: Ensemble Vide
l’an passé
"'on a pris X=E comme possibilité pour avoir p vraie " Non !!

Tu as pris, si je comprends bien, p="quelque soit A appartenant à P(E), A union X= E" (*); On ne dit rien de X, ni qu'il est égal à E, ni qu'il est différent, on n'a rien "pris" à son propos.

"Or p n'est vraie que si q est vraie!" ?? C'est ce qu'il y a à démontrer !! Confondrais-tu avec "Or p est vraie dès que q est vraie" ?? Ce n'est pas la même chose ! Même si c'est juste ici.

En fait, pas besoin de "vrai" ou de "faux" dans la démonstration d'une implication, même si on peut penser que pour démontrer p==>q on suppose p vrai et on en déduit q. Mais c'est compliquer la question, car p peut être toujours faux, et alors l'implication p==>q est valide (voir la table de vérité de l'implication).
En pratique, on suppose p et on en déduit q. C'est tout !

Cordialement

(*) j'ai un doute, car ce que tu écrivais est "quelque soit A appartenant à P" A union X= E et je ne comprends pas le " après P.
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Ce sont les exercices 11 et 13. Pour le premier X n est pas spécifié. Pour le 13, X est une partie de E. Merci de m'éclairer


Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Oui, et alors ?

Ex 11 :Il suffit de justifier chacune des implications. je ne sais pas trop ce que veut dire la dernière phrase (une implication étant une assertion). Faut-il traduire par "dans quels cas peut-on remplacer ==> par <==> ?".
Ax 13 : Aucun problème.

Ce sont des exercices classiques d'application des définitions de base sur les ensembles.

Donc où est ton problème ?
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Pour le 11: ce que j'ai compris c'est que " Quelque soit A apartenant à P, A union X=E" est une assertion équivalente à "Quelque soit A de P, A inter X=E"; si la première est vraie dès que X=E, la deuxième également. Si l'une est vraie l'autre est vraie. Si l'une est fausse, l'autre est également ce qui les rend logiquement équivalentes (c'est ce que je ai compris du moins). D'après le bouquin, une assertion est un énoncé dont on peut répondre sans ambiguïté s il est vrai ou faux. Pour l'exercice 13, Poirot dit que mon raisonnement n'a pas de sens mais il ne dit pas si la solution est bonne ou pas. Merci gerard0
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Oui ce sont des exercices classiques mais bon je suis un apprenti. Peux- tu s'il te plaît m'expliquer la différence entre "P n'est vraie que si q est vraie" et "P est vraie dès que q est vraie" ? Merci
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
rafykfan écrivait:
-------------------------------------------------------
> Peux- tu s'il te plaît m'expliquer la différence entre "P n'est vraie que si q est vraie" et "P est vraie dès que q est vraie" ?

Là, ce n'est plus des maths, ce n'est que du français.
"P n'est vraie que si Q est vraie" veut dire que, pour que P soit vraie, il faut que Q soit vraie, autrement dit que Q est une condition nécessaire pour P.
"P est vraie dès que Q est vraie" veut dire qu'il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie, autrement dit que Q est une condition suffisante pour P.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Très grand merci GaBuZoMeu;
J'ai une question mais excusez mon peu de culture sur le sujet! Pour démontrer que P==>Q est vraie, il suffit démontrer que P étant vraie, alors Q est vraie!
Dans l'exercice 11:
P: (Quelque soit A appartenant à P), A union X=E
Q: X=E
Or P ne pouvant être vraie si X est différent de E. Autrement dit, P n'est vraie que si et seulement si X=E! Je ne comprends pas le fait qu'on cherche à démontrer P==>Q alors que la vérité de P dépend de la vérité de Q; c'est comme si on disait: P n'est vraie que si Q est vraie, et si P est vraie, Q est-elle vraie… ? "P étant vraie" suppose incontournablement la vérité de Q. Qu'est-ce qu'il y a à vérifier après?
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Bonjour.

"Or P ne pouvant être vraie si X est différent de E."
Je ne comprends pas pourquoi tu parles de ça, ça n'a rien à voir avec la preuve que tu dois produire (*). Pour l'instant, la seule chose que tu dois savoir est : " Quelque soit A appartenant à P, A union X=E ". C'est la seule chose que tu sais sur X.
Et tu ne sais rien de ce qui se passe si X est différent de E, tu n'as encore rien prouvé.

Ou tu veux dire autre chose, dont on peut discuter, mais qui n'a rien à voir avec ce que tu dois faire.

Concentre toi sur " (Quelque soit A appartenant à P), A union X=E " et ce que tu peux en déduire.

La suite de ton message est le même mélange de baratin où le mot "vérité" te sert surtout à ne pas faire la preuve, en te cachant derrières de faux paradoxes. Construits sur des affirmations fausses ou sans preuve.
Tu confonds "si P est vraie" et "P est vraie", c'est quand même grave !!

Cordialement.

(*) en fait ça dit la contraposée de ce que tu dois démontrer, donc une propriété qui est équivalente à celle que tu dois démontrer. Comme preuve, c'est nul !
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Merci gerard0,
Soient E, A, B,..., Vide toutes les parties de E; on a " Quelque soit A appartenant à P(E), A union X=E " équivalence E union X et A union X et B union X etet Vide union X=E ; cette assertion est vraie pour X= E uniquement puisque Vide union X = E est faux pour tout X différent de E. Donc " Quelque soit A appartenant à P(E), A union X=E " ==> X=E est vraie; Est-ce faux ce que j'ai écrit?
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Quelle complication !!

Pourquoi utiliser une équivalence qui ne sert à rien !

Une propriété évidente, p étant une propriété dépendant d'une variable : si $a\in E,\ (\forall x\in a, p(x)\ ) \Rightarrow p(a)$
En français : Si une propriété est vraie pour tout élément d'un ensemble, elle est vraie pour un élément donné de cet ensemble.

Ici, on se moque de l'ensemble vide; pourquoi en parler ??? et pourquoi parler de "pour tout X différent de E"
" Quelque soit A appartenant à P(E), A union X=E " implique (on prend $A=\emptyset$) $\emptyset \cup X = E$
Et il n'y a plus qu'à conclure.

Tu perds ton temps en parlant sans arrêt d'autre chose que de la preuve à rédiger.
Re: Équation entre parties d'un ensemble
l’an passé
Merci gerard0 pour tes réponses. Je crois que j'ai compris. En fait Non (quelque soit A appartenant à P(E), A union X= E), Il existe en fait au moins A de P Tel que A union X différent de E, donc non P étant vraie, non P ou est vraie... L implication est vraie. Ma faute a été de chercher une condition pour que le premier membre soit faux alors qu il fallait répondre par vrai ou faux sans ambiguïté et sans faire intervenir de condition sur X. Ai-je compris maintenant. Merci encore gerard0 pour tes explications
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