Anneau de polynômes de type fini sur ss-alg

oblomov · July 2019

Bonjour
Je suis en train d'essayer de comprendre une démonstration qui semble utiliser implicitement le résultat suivant.

Soient $P_1,\dots, P_r$ des polynômes de $\mathbf C[X_1,\dots X_n]$ (peut-être homogènes). On suppose que $(0,\dots 0) \in \mathbf C^n$ est le seul zéro commun des polynômes $P_1,\dots, P_r$.
Alors : $\mathbf C[X_1,\dots X_n]$ est un module de type fini sur la sous-algèbre $\mathbf C[P_1,\dots P_r]$.

À vrai dire, je ne vois pas trop pourquoi ce résultat est vrai.
Quelqu'un verrait-il une preuve ou bien des modifications mineures à faire sur les hypothèses pour que cela soit vrai ?
Merci par avance.

Maxtimax · July 2019

ça va pas être le même genre d'idée que pour montrer que $\Z [ x ] $ est de type fini sur $\Z$ si et seulement si $x$ est un entier algébrique ?

Bon après si tu t'autorises le nullstellensatz projectif tu obtiens que $\sqrt{(P_1,...,P_r)}=(X_1,...,X_n)$ ce qui peut aider. Si tu es en train de démontrer ledit théorème faudrait éviter de l'utiliser.

claude quitté · July 2019

Le résultat est vrai sous l'hypothèse que les $P_i$ sont homogènes (de degré $> 0$). Mot-clé : Nakayama homogène, un trick très utile qui se décline de plusieurs manières (cf la suite).

1. Soit, de manière générale, un anneau gradué $B = B_0 \oplus B_1 \oplus B_2\oplus \cdots$. Chez toi, $B = \mathbb C[X_1, \cdots, X_n]$ avec $B_0 = \mathbb C$. La donnée d'un nombre fini d'habitants HOMOGENES $P_1, \cdots, P_r$ de $B_+ := B_1 \oplus B_2 \oplus\cdots$ définit un sous-anneau de $B$ (à gauche) et un anneau résiduel (à droite) :
$$
A = B_0[P_1, \cdots, P_r] \subset B, \qquad \qquad B/\langle P_1, \cdots, P_r\rangle
$$
Alors tout système homogène de $B$ qui est un système générateur du $B_0$-module $B/\langle P_1, \cdots, P_r\rangle$ est un système générateur du $A$-module $B$ : c'est une application du trick Nakayama homogène (au sous-anneau gradué $A$). En conséquence, si $B/\langle P_1, \cdots, P_r\rangle$ est un $B_0$-module de type fini, alors $B$ est une $A$-algèbre de type fini.

2. Dans ton histoire, le nullstellensatz homogène dit qu'il existe un exposant $e$ tel que :
$$
\langle X_1, \cdots, X_n\rangle^e \subset \langle P_1, \cdots, P_r\rangle \subset \langle X_1, \cdots, X_n\rangle
$$
L'inclusion de droite n'est pas très utile mais j'aime bien la faire figurer. C'est celle de gauche qui assure que $B/\langle P_1, \cdots, P_r\rangle$ est un $B_0$-module de type fini i.e. $\mathbb C[X_1, \cdots, X_n]/\langle P_1, \cdots, P_r\rangle$ est un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie.

3. Il reste à préciser ce qu'est Nakayama homogène. La version de base est la donnée d'un $A$-module gradué $E = E_0 \oplus E_1 \oplus \cdots$ sur un anneau gradué $A = A_0 \oplus A_1 \oplus \cdots$. En notant $A_+$ l'idéal $A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots$, le résultat est le suivant : si $A_+ E = E$, alors $E = 0$. Avec ensuite des variations. Par exemple, sans l'hypothèse $A_+E = E$ : tout système générateur homogène du $A_0$-module $E/(A_+E)$ est un système générateur du $A$-module $E$.

4. J'attache un extrait d'un exercice où figurent des précisions sur le point 1. entre les deux anneaux gradués $A, B$.

5. Précision : ce type de résultat se rencontre dans l'étude des systèmes homogènes de paramètres (en anglais : homogeneous system of parameters, h.s.o.p.). On a par exemple $r \ge n$ ...etc... 88492