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Topos (Grothendieck)

Envoyé par Antsa 
Topos (Grothendieck)
l’an passé
Bonjour
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer en quoi les topos mathématiques (au sens de Grothendieck) ont été appliqués ? Je m'intéresse à la théorie des catégories et surtout aux topos de Grothendieck et j'aurais aimé savoir ce que cette théorie de topos a amélioré dans le domaine de la recherche. Merci d'avance à ceux qui vont me répondre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
L'introduction des topos par Grothendieck a été motivée par la topologie étale (et la cohomologie étale qui va avec). En gros, si on veut un théorème d'inversion locale en géométrie algébrique, il faut changer le sens du mot "local" : l'inversion locale ne se fera pas sur un voisinage ouvert (pour la topologie de Zariski), mais en remontant par un morphisme étale : les ouverts sortent de l'espace.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Historiquement, une des premières applications est la définition d'une "bonne théorie" cohomologique pour des variétés algébriques définies sur des corps autres que $\mathbb C$ : la cohomologie étale. C'est André Weil qui avait conjecturé qu'une telle cohomologie devrait exister et c'est Grothendieck et ses collaborateurs qui l'ont construite. Il en a découlé la preuve par Deligne de la conjecture de Weil sur le comptage des points d'une variété définie sur un corps fini. Deligne et Lusztig on utilisé la cohomologie étale de certaines variétés (dites de Deligne-Lusztig) pour construire les représentations linéaires dites cuspidales des groupes réductifs sur un corps fini et donner des formules pour leurs caractères. Mickael Harris a démontré la conjecture de Langlands locale pour GL_n en utilisant, en autres choses, la cohomologie étale des variétés de Shimura. Laurent Lafforgue a démontré la conjecture de Langlands globale pour les corps de fonctions en utilisant (toujours entre autres choses) la cohomologie étale des espaces de modules de Schtukas de Drinfeld.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Je laisse Laurent Lafforgue parler, c'est très instructif.
[youtu.be]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Quelqu'un saurait expliquer sur un exemple simple de quoi vous parlez ? La définition de la topologie/cohomologie étale est incompréhensible. Je sais juste que pour les courbes (lisses projectives) elle ne sert à rien car on a le groupe de Picard / la variété jacobienne, et que pour les variétés (complètes ?) de dimension $\ge 2$ il faut imaginer le morphisme $X \to$ sa variété d'Albanese par lequel passe tous les morphismes vers des variétés abéliennes.



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Quand j'étais jeune étudiant j'ai suivi un cours de Fontaîne qui expliquait l'exemple le plus simple qu'on puisse imaginer : la cohomologie étale de ${\rm Spec}(K)$, $K$ un corps. Comme ensemble cet espace n'a qu'un point. Pourtant toutes les extensions finies séparables $L/K$ interviennent pour définir des "ouverts" de Grothendieck. L'objectif du cours était de définir une bonne catégorie de faisceaux de groupes abéliens sur le site étale de ${\rm Spec}(K)$ et de montrer que cette catégorie correspond à une certaine catégorie de ${\rm Gal}(K^{\rm sep}/K)$-modules. La cohomologie étale correspond alors simplement à la cohomologie des groupes habituelle.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Citation
reuns
La définition de la topologie/cohomologie étale est incompréhensible.

Bah non ! Le fait que tu ne l'aies pas encore comprise ne prouve pas qu'elle est incompréhensible.

Déjà, sais-tu ce qu'est un morphisme étale ? C'est l'équivalent algébrique de morphisme de variétés qui est un difféomorphisme local en tout point.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Oui

À la fin de [en.wikipedia.org] ils disent que l'anneau local $O_{X,x}$ de Zariski devient l'hensélianisation de $O_{X,x}$ en topologie étale, l'hensélianisation ça doit signifier quelque chose du style "les éléments de la complétion (pour la valuation discrète de $O_{X,x}$) qui sont algébriques sur $O_{X,x}$". Si il y a plusieurs valuations discrètes sur $O_{X,x}$ ça doit un peu compliquer les choses. "Henselianisation stricte" c'est la même chose mais en ajoutant à l'henselianisation de $O_{X,x}$ les racines des polynômes $\in O_{X,x}[T]$ qui sont séparables $\bmod\ v$



Edité 5 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Ça signifie en fait qu'on ajoute tout ce qu'il faut à l'anneau local pour avoir un théorème d'inversion locale (ou des fonctions implicites, c'est kif-kif). Il vaut mieux à mon avis ne pas penser en termes de valuation.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
D'accord. Donc je regarde l'homomorphisme $x \to x^3+x, k[x]_{(x)} \to k[x]_{(x)}$

On l'étend en un homomorphisme $Henselianisation( k[x]_{(x)} ) \to Henselianisation( k[x]_{(x)} )$

Soit $t \in Henselianisation( k[x]_{(x)} )$ racine de $T^3+T - x\in k[x]_{(x)}[T]$

Il existe un homomorphisme inverse $Henselianisation( k[x]_{(x)} ) \to Henselianisation( k[x]_{(x)} )$ qui envoie $x$ vers $t$

Si on essaye d'étendre ça à $k[x]_{(x-a)}$ on aura les problèmes des multiples branches des racines algébriques.

Est-ce que la topologie étale permet de faire ça, d'étendre de $k[x]_{(x)}$ aux autres $k[x]_{(x-a)}$, en faisant l'équivalent du prolongement analytique de $z \mapsto z^{1/2}, arg(z) \in (-\pi, \pi) \to arg(z) \in (-\pi/2,\pi/2) \subset \Bbb{C^*}$ le long d'une courbe $\subset \Bbb{C}^* $ ?



Edité 4 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Prenons $T^3+T-x\in \mathbb C[x]_{(x)}=A$. Quand on passe au corps résiduel de l'anneau local $A$, le polynôme $T^3+T$ a trois racines simples $0,i,-i$. On a trois algèbres locales-étales localisées de $A[T]/(T^3+T-x)$ qui s'envoient dans le hensélisé de $A$ et ces morphismes induisent des isomorphismes entre les hensélisés de ces trois anneaux locaux sur le hensélisé de $A$. Bon, d'accord.

Et alors ? Quel problème vois tu avec "étendre ça à $k[x]_{(x-a)}$" ? Peux-tu préciser quel problème vois-tu avec les "multiples branches" ?
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Là j'ai du mal à voir ce qu'est l'anneau $H(U) = \bigcap_{a \in U} Henselianisation(\Bbb{C}[x]_{(x-a)}) $ pour $U \subset \Bbb{C} - \{i\sqrt{1/3},-i\sqrt{1/3}\}$.

En terme d'analyse complexe, pour $U$ ouvert pour la topologie complexe, je peux définir $H(U)$ comme l'anneau des fonctions analytiques au voisinage de $a_0 \in U$, algébriques sur $\Bbb{C}(x)$, et dont le prolongement analytique existe pour toute courbe $a_0 \to a \subset U$.

Avec $g(x) = x^3+x$ alors $H(U)$ contient 3 versions de $g^{-1}$, une pour chaque $g^{-1}(a_0)$.

Pour une fonction $f \in H(U)$, si $U$ n'est pas simplement connexe, alors la valeur de $f$ en $a$ dépend du chemin $a_0 \to a$ qu'on a choisi pour la prolonger analytiquement, ce qui indique qu'il doit y avoir plusieurs façons de réaliser $H(U)\hookrightarrow H(\{a\})$ car dans ce dernier anneau $f(a)$ est bien défini par $f \bmod (x-a)$.

En terme d'analyse complexe à chaque courbe $\gamma : a_0 \to a \subset U$ le prolongement analytique le long de $\gamma$ donne une réalisation de $H(U)\hookrightarrow H(\{a\})$, toutes les réalisations de l'inclusion sont de cette forme. Mais je ne vois pas du tout comment algébriser ces notions pour espérer le faire pour des variétés algébriques non complexes.

À moins de dire simplement qu'une réalisation de $H(U)\hookrightarrow H(\{a\})$ c'est "une courbe $a_0 \to a$" ? Pour espérer en faire quelque chose il faudrait probablement mettre une topologie sur ces "courbes abstraites". Il faudrait aussi réussir à définir "$U$ est simplement connexe" c'est à dire que la courbe abstraite est uniquement déterminée par ses extrémités $a_0,a$.

Mais ce n'est probablement pas du tout ce que tu voudrais que je regarde.



Edité 7 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Je ne vois pas trop où tu t'embarques !

La notion de hensélianisé est une notion locale. Si on part de la droite complexe, le hensélianisé de l'anneau local des germes de fonctions régulières en $a\in \mathbb C$ est l'anneau local des germes de fonctions analytiques-algébriques en $a$ (on parle aussi de fonctions de Nash, mais cette terminologie est plutôt réservée à la situation réelle).

Du point de vue global, la situation est très décevante : les seules fonctions analytiques-algébriques sur un ouvert de Zariski $U$ de $\mathbb C$ sont les fonctions régulières sur $U$ ; en particulier pour $U=\mathbb C$, seulement les polynômes.

On peut faire le lien avec ce que racontait Paul Broussous plus haut : si on part du spectre d'un corps $k$, les seules sections globales du faisceau structural du topos étale de $\mathrm{Spec}(k)$ sont les éléments de sa clôture séparable fixés par le groupe de Galois, autrement dit juste les éléments de $K$ !

On peut bien sûr regarder ce qui se passe pour un ouvert $U$ de $\mathbb C$ pour la topologie usuelle. Mais alors ton histoire de prolongement analytique ne tient pas la route. Une section sur $U$ du faisceau des fonctions analytiques algébriques ne va pas donner une fonction multiforme sur $U$. Il n'y a pas de fonction $\sqrt z$ sur $\mathbb C\setminus \{0\}$. Il y a par contre une fonction $\sqrt{z}$ définie sur la "surface de Riemann", en remontant le morphisme étale donné par le revêtement double non trivial de $\mathbb C\setminus \{0\}$ (algébriquement, $\mathbb C[z]\to \mathbb C[z, z^{-1}][t]/(t^2-z)$) ; c'est un exemple d'"ouvert" pour la topologie étale, un ouvert qui sort de l'espace !

La situation "réelle" est assez amusante et bien différente. On peut faire une version réelle de la topologie étale où les "ouverts" sont toujours les morphismes étales mais on demande cette fois-ci pour les recouvrements d'être surjectifs juste sur les points réels ! Le faisceau structural est encore le faisceau des fonctions analytiques algébriques (fonctions de Nash), mais cette fois ci il y a du nouveau : par exemple $x\mapsto \sqrt{1+x^2}$ est une brave fonction de Nash sur la droite affine, et ce n'est pas un polynôme ! Et aussi, surprise, il se révèle que dans ce cas le détour par une topologie de Grothendieck n'était pas nécessaire : le topos étale réel est un topos de faisceaux sur un brave espace topologique. Juste un exemple dans le prolongement de celui de Broussous : partant du spectre d'un corps $k$, on n'a plus l'action continue du groupe de Galois de sa clôture séparable, mais l'espace topologique des ordres sur $k$ (avec une sous-base d'ouverts formée des ensembles d'ordres rendant positifs un élément $a$, pour $a$ se promenant dans $k$).
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Heu si $\sqrt{z}$ est analytique en $z=1$, elle est algébrique sur $\Bbb{C}(z)$, et son prolongement analytique existe sur toute courbe $1 \to a \subset \Bbb{C}^*$. On peut très bien définir l'anneau de toutes les fonctions analytiques en $z=1$ qui satisfont cette propriété et de même en remplaçant $\Bbb{C}^*$ par un ouvert plus petit.

Que tous ces prolongements analytiques existent nous dit que $\sqrt{z}$ est analytique sur une surface de Riemann qui est un quotient du recouvrement universel de $\Bbb{C}^*$ par un sous-groupe (d'indice fini) de $\pi_1(\Bbb{C}^*)$, cette surface de Riemann étant juste l'ensemble des courbes $\gamma : 1 \to a \subset \Bbb{C}^*$ modulo "$\gamma \simeq \gamma_2$ si le prolongement analytique de $f$ le long de $\gamma$ ou $\gamma_2$ donne la même fonction analytique au voisinage de $a$"



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Le revêtement universel de $\mathbb C^*$ n'est pas un objet algébrique (pas un morphisme étale de variétés algébriques).
Je croyais que ton but était de mieux comprendre le topos étale.
Si tu veux faire autre chose, ok.

Et je répète que sur $\mathbb C^*$, les seules fonctions analytiques algébriques sont les fonctions régulières, c.-à-d. $\mathbb C[z,z^{-1}]$.
$\sqrt z$ n'est pas une fonction analytique algébrique sur $\mathbb C^*$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Merci beaucoup,

J'ai le contexte pour lire Milnes [www.jmilne.org]

Il me dit de regarder tous les recouvrements étales de $\Bbb{C}^*$, qui sont les $z \mapsto z^n, n \ge 1$, pré-ordonnés par division.

Si je remplace $\Bbb{C}^*$ par $X=\overline{k}- \{0,1\}$ alors ça sera plus compliqué mais on aura toujours une liste de tous les recouvrements étales $f_j: X_j \to X$ pré-ordonnés par " $f \ge g$ si $f = g \circ s$"

On n'est pas obligé de prendre $X_j$ la liste de tous les recouvrements étales, on garde juste une sous-liste qui est Galois sur $X$ et telle que pour tout recouvrement étale $Y$ il existe $X_j \ge Y$.

On peut aussi prendre un sous-ensemble de $X$ et faire pareil, regarder tous ses recouvrements étales, et on peut penser à $x \in X$ comme l'intersection de tous les morphismes étales qui recouvrent un ouvert contenant $x$. La bonne propriété des recouvrements étales c'est que chaque point d'arrivée a le même nombre d'antécédents, mais c'est seulement si on définit l'ensemble de départ et d'arrivée comme il faut, je n'ai pas encore clarifié à quel moment on exige cette condition ou pas.

Puis de dire par exemple que $\tilde{X} = \lim X_j$ et $\pi_1(Et(X)) = Aut_X(\tilde{X}) = \varprojlim Aut_{X_j}(X)$ la limite projective des automorphismes de $X_j$ qui gardent $f_j$ invariant

Qu'avec $X= \Bbb{C}$ ou $X = \Bbb{P^1_C}$ on n'a aucun recouvrement étale.

Qu'avec $X = Spec(k)$ un corps, on fixe une version de $k^{sep}$ et on prend $X_j$ les $Spec(L)$ pour chaque extension Galois $L/k, L \subset k^{sep}$.

Le voisinage étale d'un point $x \in X$ c'est la donnée d'un recouvrement étale $U \to V \ni x\subset X$, il contient tous les recouvrements étales qui se factorisent par lui. Pour algébriser ces notations on doit prendre $U$ (et donc son image $V$) des ouverts de Zariski dans les variétés associées.

$\bigcup O_{U,u}$ c'est l'hensélianisation de $O_{X,x}$ ($X$ une variété sur $k$, pour définir $\bigcup O_{U,u}$ il doit falloir d'abord se donner une version de $k^{sep}$)



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par reuns.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
L'hensélianisé strict de l'anneau local $A$ est la limite inductive (filtrante) des $A$ algèbres locales-étales.

Citation

on peut penser à $x\in X$ comme l'intersection de tous les morphismes étales qui recouvrent un ouvert contenant $x$
.
Pas d'accord. Tu es sûr que Milne écrit ça ?

Citation

La bonne propriété des recouvrements étales c'est que chaque point d'arrivée a le même nombre d'antécédents

Pas d'accord non plus. Ne pas confondre morphisme étale (même surjectif) et revêtement. Après, si on s'intéresse au groupe fondamental (version Grothendieck), on se restreint aux revêtements.
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Désolé de t'embêter encore.

Peux-tu dire sans rentrer dans les détails ce qu'est un ouvert étale de $X$ (un ouvert étale c'est la donnée de $(U,f)$ où $U$ est une variété, $f$ est un morphisme étale $U \to Y \subset X$ avec $Y$ dense dans $X$ ?), comment on fait l'union et l'intersection de deux ouverts, comment penser les points de cet ouvert ?

Pour le moment ce que je pense a du sens c'est : d'une part de définir des anneaux plus gros que les $O_X(Y)$ qui contiennent les fonctions algébriques analytiques sur tel ouvert de $X$ et qui sont dans $O_U(V)$ pour telle extension étale $U$ de $Y$.

et d'autre part de définir une tour de recouvrements Galois étales $X_n$ de $X=X_1$ telle que pour $m \ge n$, $X_n \cong X_m / Aut_{X_n}(X_m)$ et $\pi_1(X) = \varprojlim Aut_X(X_n)$

enfin est-ce que à chaque ouvert étale $V$ on a un anneau de fonctions $o(V)$ et a-t-on quelque chose du style $Henselise(O_{X,x})=\bigcap_{\text{ouvert etale }(U,f), \exists u \in U, x = f(u)} o(V) $ ?
Re: Topos (Grothendieck)
l’an passé
Tu l'as dit, à peu près :
> un "ouvert" étale de $X$ c'est la donnée de $(U,f)$ où $U$ est une
> variété, $f$ est un morphisme étale $U \to X$
(la donnée de $f$ suffit).
Les "ouverts" étales de $X$ ne forment pas un treillis (comme le treillis des ouverts d'un espace topologique), mais une catégorie.

> Comment on fait l'union et l'intersection de deux ouverts ?

Pour l'intersection, c'est le produit fibré au dessus de $X$ (l'intersection de deux vrais ouverts d'un espace topologique, c'est aussi un produit fibré, n'est-ce-pas ?).
La réunion ? On n'en fait pas, en fait. Ce qui compte, c'est de savoir quand un ouvert est recouvert par une famille d'ouverts. Une famille $(f_i:V_i\to U)$ de morphismes étales est couvrante pour la topologie étale quand elle est surjective (on parle ici des points complexe si on travaille avec des variétés algébriques sur $\mathbb C$, ou alors des points du schéma).

> Comment penser les points de cet ouvert ?

C'est un peu délicat. Cet "ouvert", en tant que variété ou schéma, a des points. Mais si on parle des points du topos étale de $X$ qui factorisent à travers l'"ouvert" $U$, c'est autre chose. On peut revenir à l'exemple donné par Broussous, le topos étale de $\mathrm{Spec}(k)$ où $k$ est un corps. Ce topos a un seul point, mais ce point a des automorphismes : c'est le groupe de Galois. Et ce point a plusieurs façons de factoriser à travers un "ouvert" donné par une extension séparable finie $k\to L$ (les divers plongement de $L$ dans une clôture séparable).



> Pour le moment ce que je pense a du sens c'est :
> d'une part de définir des anneaux plus gros que
> les $O_X(Y)$ qui contiennent les fonctions
> algébriques analytiques sur tel ouvert de $X$ et
> qui sont dans $O_U(V)$ pour telle extension étale
> $U$ de $Y$.
Je ne vois pas le sens de ça, je répète encore une fois : les seules fonctions analytiques algébriques sur un ouvert de Zariski de $X$ sont les fonctions régulières. Pourquoi ne veux-tu pas l'entendre ?


> et d'autre part de définir une tour de
> recouvrements Galois étales $X_n$ de $X=X_1$
> telle que pour $m \ge n$, $X_n \cong X_m /
> Aut_{X_n}(X_m)$ et $\pi_1(X) = \varprojlim
> Aut_X(X_n)$
Bon, là on fabrique le groupe fondamental à la Grothendieck (SGA 1). Mes connaissances là-dessus sont assez superficielles.

> enfin est-ce que à chaque ouvert étale $V$ on a
> un anneau de fonctions $o(V)$

Oui. Le faisceau structural $\mathcal O$ du topos étale de $X$, c'est le faisceau dont l'anneau des sections sur l'"ouvert" $f:U\to X$ est l'anneau des fonctions régulières sur $U$ (encore le refrain : les seules fonctions analytiques algébriques sur une variété sont les fonctions régulières).

> a-t-on quelque chose du style
> $Henselise(O_{X,x})=\bigcap_{\text{ouvert etale}(U,f), \exists u \in U, x = f(u)} o(V) $ ?
Tu devrais te débarrasser de cette histoire d'intersection. Un anneau local, c'est une limite inductive et pas une intersection !
Disons que nous travaillons avec une variété algébrique complexe $X$ et un brave point $x$. Le hensélisé de $\mathcal O_{X,x}$ est la limite inductive des $\mathcal O_{U,y}$ pour $f:U\to X$ étale et $y\in U$ tel que $f(y)=x$.
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