Topos (Grothendieck)

Historiquement, une des premières applications est la définition d'une "bonne théorie" cohomologique pour des variétés algébriques définies sur des corps autres que $\mathbb C$ : la cohomologie étale. C'est André Weil qui avait conjecturé qu'une telle cohomologie devrait exister et c'est Grothendieck et ses collaborateurs qui l'ont construite. Il en a découlé la preuve par Deligne de la conjecture de Weil sur le comptage des points d'une variété définie sur un corps fini. Deligne et Lusztig on utilisé la cohomologie étale de certaines variétés (dites de Deligne-Lusztig) pour construire les représentations linéaires dites cuspidales des groupes réductifs sur un corps fini et donner des formules pour leurs caractères. Mickael Harris a démontré la conjecture de Langlands locale pour GL_n en utilisant, en autres choses, la cohomologie étale des variétés de Shimura. Laurent Lafforgue a démontré la conjecture de Langlands globale pour les corps de fonctions en utilisant (toujours entre autres choses) la cohomologie étale des espaces de modules de Schtukas de Drinfeld.

Quelqu'un saurait expliquer sur un exemple simple de quoi vous parlez ? La définition de la topologie/cohomologie étale est incompréhensible. Je sais juste que pour les courbes (lisses projectives) elle ne sert à rien car on a le groupe de Picard / la variété jacobienne, et que pour les variétés (complètes ?) de dimension $\ge 2$ il faut imaginer le morphisme $X \to$ sa variété d'Albanese par lequel passe tous les morphismes vers des variétés abéliennes.

reuns a écrit:

La définition de la topologie/cohomologie étale est incompréhensible.

Bah non ! Le fait que tu ne l'aies pas encore comprise ne prouve pas qu'elle est incompréhensible.

Déjà, sais-tu ce qu'est un morphisme étale ? C'est l'équivalent algébrique de morphisme de variétés qui est un difféomorphisme local en tout point.

Ça signifie en fait qu'on ajoute tout ce qu'il faut à l'anneau local pour avoir un théorème d'inversion locale (ou des fonctions implicites, c'est kif-kif). Il vaut mieux à mon avis ne pas penser en termes de valuation.

Prenons $T^3+T-x\in \mathbb C[x]_{(x)}=A$. Quand on passe au corps résiduel de l'anneau local $A$, le polynôme $T^3+T$ a trois racines simples $0,i,-i$. On a trois algèbres locales-étales localisées de $A[T]/(T^3+T-x)$ qui s'envoient dans le hensélisé de $A$ et ces morphismes induisent des isomorphismes entre les hensélisés de ces trois anneaux locaux sur le hensélisé de $A$. Bon, d'accord.

Et alors ? Quel problème vois tu avec "étendre ça à $k[x]_{(x-a)}$" ? Peux-tu préciser quel problème vois-tu avec les "multiples branches" ?

Je ne vois pas trop où tu t'embarques !

La notion de hensélianisé est une notion locale. Si on part de la droite complexe, le hensélianisé de l'anneau local des germes de fonctions régulières en $a\in \mathbb C$ est l'anneau local des germes de fonctions analytiques-algébriques en $a$ (on parle aussi de fonctions de Nash, mais cette terminologie est plutôt réservée à la situation réelle).

Du point de vue global, la situation est très décevante : les seules fonctions analytiques-algébriques sur un ouvert de Zariski $U$ de $\mathbb C$ sont les fonctions régulières sur $U$ ; en particulier pour $U=\mathbb C$, seulement les polynômes.

On peut faire le lien avec ce que racontait Paul Broussous plus haut : si on part du spectre d'un corps $k$, les seules sections globales du faisceau structural du topos étale de $\mathrm{Spec}(k)$ sont les éléments de sa clôture séparable fixés par le groupe de Galois, autrement dit juste les éléments de $K$ !

On peut bien sûr regarder ce qui se passe pour un ouvert $U$ de $\mathbb C$ pour la topologie usuelle. Mais alors ton histoire de prolongement analytique ne tient pas la route. Une section sur $U$ du faisceau des fonctions analytiques algébriques ne va pas donner une fonction multiforme sur $U$. Il n'y a pas de fonction $\sqrt z$ sur $\mathbb C\setminus \{0\}$. Il y a par contre une fonction $\sqrt{z}$ définie sur la "surface de Riemann", en remontant le morphisme étale donné par le revêtement double non trivial de $\mathbb C\setminus \{0\}$ (algébriquement, $\mathbb C[z]\to \mathbb C[z, z^{-1}][t]/(t^2-z)$) ; c'est un exemple d'"ouvert" pour la topologie étale, un ouvert qui sort de l'espace !

La situation "réelle" est assez amusante et bien différente. On peut faire une version réelle de la topologie étale où les "ouverts" sont toujours les morphismes étales mais on demande cette fois-ci pour les recouvrements d'être surjectifs juste sur les points réels ! Le faisceau structural est encore le faisceau des fonctions analytiques algébriques (fonctions de Nash), mais cette fois ci il y a du nouveau : par exemple $x\mapsto \sqrt{1+x^2}$ est une brave fonction de Nash sur la droite affine, et ce n'est pas un polynôme ! Et aussi, surprise, il se révèle que dans ce cas le détour par une topologie de Grothendieck n'était pas nécessaire : le topos étale réel est un topos de faisceaux sur un brave espace topologique. Juste un exemple dans le prolongement de celui de Broussous : partant du spectre d'un corps $k$, on n'a plus l'action continue du groupe de Galois de sa clôture séparable, mais l'espace topologique des ordres sur $k$ (avec une sous-base d'ouverts formée des ensembles d'ordres rendant positifs un élément $a$, pour $a$ se promenant dans $k$).

Le revêtement universel de $\mathbb C^*$ n'est pas un objet algébrique (pas un morphisme étale de variétés algébriques).
Je croyais que ton but était de mieux comprendre le topos étale.
Si tu veux faire autre chose, ok.

Et je répète que sur $\mathbb C^*$, les seules fonctions analytiques algébriques sont les fonctions régulières, c.-à-d. $\mathbb C[z,z^{-1}]$.
$\sqrt z$ n'est pas une fonction analytique algébrique sur $\mathbb C^*$.

L'hensélianisé strict de l'anneau local $A$ est la limite inductive (filtrante) des $A$ algèbres locales-étales.

on peut penser à $x\in X$ comme l'intersection de tous les morphismes étales qui recouvrent un ouvert contenant $x$

.
Pas d'accord. Tu es sûr que Milne écrit ça ?

La bonne propriété des recouvrements étales c'est que chaque point d'arrivée a le même nombre d'antécédents

Pas d'accord non plus. Ne pas confondre morphisme étale (même surjectif) et revêtement. Après, si on s'intéresse au groupe fondamental (version Grothendieck), on se restreint aux revêtements.

Tu l'as dit, à peu près :
> un "ouvert" étale de $X$ c'est la donnée de $(U,f)$ où $U$ est une
> variété, $f$ est un morphisme étale $U \to X$
(la donnée de $f$ suffit).
Les "ouverts" étales de $X$ ne forment pas un treillis (comme le treillis des ouverts d'un espace topologique), mais une catégorie.

> Comment on fait l'union et l'intersection de deux ouverts ?

Pour l'intersection, c'est le produit fibré au dessus de $X$ (l'intersection de deux vrais ouverts d'un espace topologique, c'est aussi un produit fibré, n'est-ce-pas ?).
La réunion ? On n'en fait pas, en fait. Ce qui compte, c'est de savoir quand un ouvert est recouvert par une famille d'ouverts. Une famille $(f_i:V_i\to U)$ de morphismes étales est couvrante pour la topologie étale quand elle est surjective (on parle ici des points complexe si on travaille avec des variétés algébriques sur $\mathbb C$, ou alors des points du schéma).

> Comment penser les points de cet ouvert ?

C'est un peu délicat. Cet "ouvert", en tant que variété ou schéma, a des points. Mais si on parle des points du topos étale de $X$ qui factorisent à travers l'"ouvert" $U$, c'est autre chose. On peut revenir à l'exemple donné par Broussous, le topos étale de $\mathrm{Spec}(k)$ où $k$ est un corps. Ce topos a un seul point, mais ce point a des automorphismes : c'est le groupe de Galois. Et ce point a plusieurs façons de factoriser à travers un "ouvert" donné par une extension séparable finie $k\to L$ (les divers plongement de $L$ dans une clôture séparable).



> Pour le moment ce que je pense a du sens c'est :
> d'une part de définir des anneaux plus gros que
> les $O_X(Y)$ qui contiennent les fonctions
> algébriques analytiques sur tel ouvert de $X$ et
> qui sont dans $O_U(V)$ pour telle extension étale
> $U$ de $Y$.
Je ne vois pas le sens de ça, je répète encore une fois : les seules fonctions analytiques algébriques sur un ouvert de Zariski de $X$ sont les fonctions régulières. Pourquoi ne veux-tu pas l'entendre ?


> et d'autre part de définir une tour de
> recouvrements Galois étales $X_n$ de $X=X_1$
> telle que pour $m \ge n$, $X_n \cong X_m /
> Aut_{X_n}(X_m)$ et $\pi_1(X) = \varprojlim
> Aut_X(X_n)$
Bon, là on fabrique le groupe fondamental à la Grothendieck (SGA 1). Mes connaissances là-dessus sont assez superficielles.

> enfin est-ce que à chaque ouvert étale $V$ on a
> un anneau de fonctions $o(V)$

Oui. Le faisceau structural $\mathcal O$ du topos étale de $X$, c'est le faisceau dont l'anneau des sections sur l'"ouvert" $f:U\to X$ est l'anneau des fonctions régulières sur $U$ (encore le refrain : les seules fonctions analytiques algébriques sur une variété sont les fonctions régulières).

> a-t-on quelque chose du style
> $Henselise(O_{X,x})=\bigcap_{\text{ouvert etale}(U,f), \exists u \in U, x = f(u)} o(V) $ ?
Tu devrais te débarrasser de cette histoire d'intersection. Un anneau local, c'est une limite inductive et pas une intersection !
Disons que nous travaillons avec une variété algébrique complexe $X$ et un brave point $x$. Le hensélisé de $\mathcal O_{X,x}$ est la limite inductive des $\mathcal O_{U,y}$ pour $f:U\to X$ étale et $y\in U$ tel que $f(y)=x$.