Salut je n'arrive pas à démontrer le résultat suivant est-ce que quelqu'un peut me donner des indications. Les coefficients diagonaux de toute matrice symétrique définie positive sont strictement positifs.
on peut le faire aussi par une preuve directe mais j'ai choisie de raisonner par absurde en arrivant à la fin à une somme des carrées fois le coefficient diagonal que j'ai supposé négatif alors que la matrice choisie et symétrique définie positive
Oui bien sûr, mais l'absurde est superflu ici, c'est ça que je voulais dire; et ça allourdit la preuve inutilement. Alors que "$S$ est symétrique définie positive, donc $\langle Se_i, e_i \rangle > 0 $, et $\langle Se_i, e_i \rangle = S_{ii}$" est très légère et directe.
En effet :
Il suffit de trouver (ou de démontrer qu’il existe) un vecteur non nul dont l’image est négative.
« Utiliser l’absurde » consiste à dire « supposons qu’il n’y ait pas de tel vecteur...puis...or j’en ai trouvé un donc c’est absurde » ce qui est assez pauvre finalement. Pourvu que je ne manque pas de clarté...
Remarque : même dans ce cadre, ce n’est pas à proprement parler un (véritable) raisonnement par l’absurde.
Voir les fils consacrés à cela.
Salut est-ce que quelqu'un peut me donner des indications pour la question suivante:
Soit $A$ une matrice de taille n montrer que $(^t A)A$ est symétrique positive de plus si $A$ est inversible alors elle est symétrique définie positive
Ne vois-tu pas une raison pour laquelle on aurait $X^{\mathsf T} A^{\mathsf T} A X\geq 0$ pour tout vecteur colonne $X$ ? (Indication : $X^{\mathsf T} A^{\mathsf T} = (??)^{\mathsf T}$.)
Réponses
Il suffit de trouver (ou de démontrer qu’il existe) un vecteur non nul dont l’image est négative.
« Utiliser l’absurde » consiste à dire « supposons qu’il n’y ait pas de tel vecteur...puis...or j’en ai trouvé un donc c’est absurde » ce qui est assez pauvre finalement. Pourvu que je ne manque pas de clarté...
Remarque : même dans ce cadre, ce n’est pas à proprement parler un (véritable) raisonnement par l’absurde.
Voir les fils consacrés à cela.
Soit $A$ une matrice de taille n montrer que $(^t A)A$ est symétrique positive de plus si $A$ est inversible alors elle est symétrique définie positive