Matrices symétriques définies positives

Nemya
Nemya
dans Algèbre
Salut je n'arrive pas à démontrer le résultat suivant est-ce que quelqu'un peut me donner des indications.
Les coefficients diagonaux de toute matrice symétrique définie positive sont strictement positifs.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Peux-tu interpréter le coefficient diagonal $ii$ comme un produit scalaire bien choisi ?
  • Nemya
    Nemya
    Oui j'ai raisonné par absurde en prenant la colonne nulle sauf dans la i-ème ligne où il y a le coefficient diagonal supposé négatif.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pourquoi “par l'absurde" alors que tu présentes une preuve directe ?
  • Nemya
    Nemya
    on peut le faire aussi par une preuve directe mais j'ai choisie de raisonner par absurde en arrivant à la fin à une somme des carrées fois le coefficient diagonal que j'ai supposé négatif alors que la matrice choisie et symétrique définie positive
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui bien sûr, mais l'absurde est superflu ici, c'est ça que je voulais dire; et ça allourdit la preuve inutilement. Alors que "$S$ est symétrique définie positive, donc $\langle Se_i, e_i \rangle > 0 $, et $\langle Se_i, e_i \rangle = S_{ii}$" est très légère et directe.
  • Dom
    Dom
    En effet :
    Il suffit de trouver (ou de démontrer qu’il existe) un vecteur non nul dont l’image est négative.
    « Utiliser l’absurde » consiste à dire « supposons qu’il n’y ait pas de tel vecteur...puis...or j’en ai trouvé un donc c’est absurde » ce qui est assez pauvre finalement. Pourvu que je ne manque pas de clarté...

    Remarque : même dans ce cadre, ce n’est pas à proprement parler un (véritable) raisonnement par l’absurde.
    Voir les fils consacrés à cela.
  • Nemya
    Nemya
    Merci pour vos réponses
  • Nemya
    Nemya
    Salut est-ce que quelqu'un peut me donner des indications pour la question suivante:
    Soit $A$ une matrice de taille n montrer que $(^t A)A$ est symétrique positive de plus si $A$ est inversible alors elle est symétrique définie positive
  • Dom
    Dom
    Pour le caractère symétrique : commencer par essayer de calculer avec une matrice 3x3.
  • Nemya
    Nemya
    J'ai démontré que la matrice en question est symétrique il me reste le fait qu'elle soit positive
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Reviens à la définition : qu'est-ce que ça veut dire, qu'une matrice symétrique réelle est positive ?
  • Nemya
    Nemya
    M est symétrique positive si elle est symétrique et pour toute colonne $X$ de taille n si le produit $^t XMX \geq 0 $
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ne vois-tu pas une raison pour laquelle on aurait $X^{\mathsf T} A^{\mathsf T} A X\geq 0$ pour tout vecteur colonne $X$ ? (Indication : $X^{\mathsf T} A^{\mathsf T} = (??)^{\mathsf T}$.)
  • Nemya
    Nemya
    $^t\! X {\,}^t\! A = {}^t\! (AX),$ après calcul j'ai trouvé une somme de carrés donc positif.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $Y^{\mathsf T} Y=\Vert Y\Vert^2$ (norme euclidienne standard).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 32

Fin de partieGaBuZoMeuLOU16LP2MagnéthoraxMatricule_63MilasOShineRescassolbiguine_equationgai requinjelobreuilzeste +19 Invités