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Produit scalaire non euclidien

Envoyé par André49 
Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Bonjour,

Quelqu'un saurait-il définir (donner un exemple?) ce qu'on entend par "produit scalaire non euclidien"?
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Peux-tu préciser le contexte dans lequel tu rencontres cette expression ?
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Je ne connais pas cette notion de produit scalaire non-euclidien ou euclidien. Est-ce un abus de language ou ai-je tout oublié ?
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Je suis tombé dessus par hasard (je pense) ; en tout cas, je ne sais plus d'où ça m'est venu... Bon, une recherche Google donne 8 résultats pour cette expression, mais j'avoue que ça ne m'explique rien. Après, c'est une question de logique qui me fait m'interroger...

Si $E$ est une espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension finie, et si je définis sur $E\times E \to \mathbb{R}$ une forme bilinéaire symétrique définie positive que j'appelle "produit scalaire", je dis que $E$ est une espace euclidien, n'est-ce pas ? Mais si je peux définir un "produit scalaire non euclidien", puis-je qualifier $E$ d'"espace euclidien" ? C'est un peu étrange...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Produit scalaire non euclidien n’est pas défini : cette expression est vide. Ton problème est ainsi résolu. Le truc pour éviter ces problèmes est de ne pas inventer des expressions vides de sens. A réfléchir.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Il y a un produit scalaire hermitien qui n'est pas euclidien. Il y a parfois des formes bilinéaires symétriques non dégénérées du genre $\sum x_iy_i$ sur $\Z/2\Z$ et qu'on appelle encore produit scalaire, etc.
Bref, il est nécessaire de préciser le contexte.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Exemple de contexte que je viens de trouver :

Ici

Rechercher sur la page l'expression "exemple bis"
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Bonjour.

Dans ce cas précis, "produit scalaire euclidien" réfère au produit scalaire qui a donné l'espace euclidien où on se situe. Donc "non euclidien" est un synonyme de "autre".
La formulation est donc assez maladroite.

Cordialement.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Cet exemple bis est un exemple idiot : l'exemple donné est bien un produit scalaire euclidien, mais pour une structure euclidienne qui n'est pas la structure euclidienne "standard" sur $\mathbb R^2$.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Je viens de retrouver sur une ancienne tablette (mais je ne sais plus d'où ça sort) ce résultat, que j'avais dû noter pour son intérêt à l'époque... :
On se place dans $E$ en dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ ; soit la matrice :
$$M = \left( \begin{array}{cc} a>0 & b \\ b & c>0 \end{array} \right) \quad{} b^2<ac$$
alors, pour tout couple de vecteurs $(u,v)$, où $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$, l'expression $\varphi(u,v)=u^T M v$ définit un produit scalaire sur $E$.
Je me demande donc si certains auteurs ne qualifient pas de "euclidien" un produit scalaire pour lequel $M=I \,(matrice\, identité)$ ...
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Bonsoir,
euclidien fait peut être aussi référence à la dimension finie, si on est un dimension infinie on ne parlera jamais de prodiot scalaire euclidien.
P.
Re: Produit scalaire non euclidien
il y a trois mois
Ton interprétation est la bonne. Pour les anglo-saxons l'espace euclidien est $\R^n$ muni du produit scalaire canonique. Sinon ils parlent de "inner product space".



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
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