Produit scalaire non euclidien

Je suis tombé dessus par hasard (je pense) ; en tout cas, je ne sais plus d'où ça m'est venu... Bon, une recherche Google donne 8 résultats pour cette expression, mais j'avoue que ça ne m'explique rien. Après, c'est une question de logique qui me fait m'interroger...

Si $E$ est une espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension finie, et si je définis sur $E\times E \to \mathbb{R}$ une forme bilinéaire symétrique définie positive que j'appelle "produit scalaire", je dis que $E$ est une espace euclidien, n'est-ce pas ? Mais si je peux définir un "produit scalaire non euclidien", puis-je qualifier $E$ d'"espace euclidien" ? C'est un peu étrange...

Je viens de retrouver sur une ancienne tablette (mais je ne sais plus d'où ça sort) ce résultat, que j'avais dû noter pour son intérêt à l'époque... :
On se place dans $E$ en dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ ; soit la matrice :
$$M = \left( \begin{array}{cc} a>0 & b \\ b & c>0 \end{array} \right) \quad{} b^2<ac$$
alors, pour tout couple de vecteurs $(u,v)$, où $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$, l'expression $\varphi(u,v)=u^T M v$ définit un produit scalaire sur $E$.
Je me demande donc si certains auteurs ne qualifient pas de "euclidien" un produit scalaire pour lequel $M=I \,(matrice\, identité)$ ...