La dimension dépend du corps de base

Et est un $\mathbb Q$-ev de dimension infinie ;-)

Je profite du fait que Poirot ait mentionné une dimension sur $\mathbb{Q}$ pour m’incruster...

Je ne me souvenais plus si j'avais vu une démonstration "potable" du fait que $\mathbb{R}$ est de dimension infinie sur $\mathbb{Q}$, alors j'ai cherché sur internet rapidement et je suis tombé sur ceci sur un autre forum (le quatrième message).

C'est une jolie démonstration, je trouve. Élémentaire mais habile.

Plus précisément la dimension du $\mathbb Q$-espace vectoriel $\mathbb R$ est le cardinal de $\mathbb R$.

Bien sur tu peux. Mais pas de manière compatible avec sa structure d’espace réel.

Pour généraliser un peu: si $L$ est un sous-corps de $K$ (comme $\mathbb{Q}$ l'est pour $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}$ pour $\mathbb{C}$) et si $V$ est un $K$-espace vectoriel, alors $V$ est $\textbf{toujours}$ un $L$-espace vectoriel.
...

Je dirais même plus : la dimension d'un $K$-espace vectoriel $E$ dépend de $E$. Ca vous la coupe, hein ? Je suis tout ce qu'il y a de plus sérieux et je dois avouer que je comprends à peine le titre du fil et que j'ai pas lu les posts (c'est pas bien).

En effet, dans le quadruplet $\big(V, \mathbb{K}, \boxplus, \boxdot \big)$ définissant un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, le couple $\big(\boxplus, \boxdot \big)$ formé par la loi interne à $V$ et la "multiplication scalaire" est à distinguer du couple $(+,.)$ attaché au corps $\mathbb{K}$ lui-même sauf si Si $V=\mathbb{K}$ ou si l’un des deux ensembles est le sous corps de l’autre. Cette distinction n'est peut-être pas évidente pour l'apprenti algébriste...

Dans l'exemple (archi)-classique où $V=\mathbb{C}^n$ n'est pas un corps et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$,

\begin{equation}
\displaystyle \big(z_1, z_2,...,z_n \big) \: \boxplus \:\big(w_1, w_2, ..., w_n\big)=\big(z_1+w_1, z_2+w_2,..., z_n+w_n \big) \\
s\boxdot \big(z_1,z_2, ..., z_n \big) = \big(s.z_1, s.z_2, ..., s.z_n \big), \: \: s \in \mathbb{R}
\end{equation}

Et l'on voit bien, comme le faisait remarquer @gerard0, que les lois de $V$ utilisent celles de $\mathbb{K}$: ces dernières étant ici: l'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$.


Quand à ceux qui se demandent pourquoi $\mathbb{R}$ est un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel de dimension infinie, (je fais la supposition qu'ils existent !), l'explication la plus communément admise est celle qui fait appel aux nombres transcendants: ceux qui ne sont pas solutions d'équations polynomiales à coefficients rationnels.
Pour préciser la première explication donnée par @Poirot, si $\alpha$ est un tel nombre, alors pour des rationnels $a_0, a_1,..., a_n$ non tous nuls, on a par définition
\begin{equation}
\displaystyle a_0 + a_1 \alpha + ... + a_n \alpha^n \neq 0
\end{equation}

En tant que $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, $\mathbb{R}$ ne possède donc pas de bases de cardinal fini car pour tout entier $n$, il existe dans $\mathbb{R}$ une famille de $n+1$ vecteurs $(1, \alpha, ..., \alpha^n)$ linéairement indépendants. (La nullité de l'équation ci-dessus impliquerait la nullité de tous les $a_i$ rationnels).
...

@side : j'ai donné l'argument de cardinalité dans ce message.