Ajout d'un élément à une famille libre
dans Algèbre
Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille libre d'un $K$-ev $E$. Soit $j\notin I$ et $x_j\in E$. Je veux montrer que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ est libre
2) $x_j\notin\mathrm{Vect}((x_i)_{i\in I})$
J'ai réussi à montrer 1) $\implies$ 2) par contraposée mais je bloque pour 2) $\implies$ 1).
1) $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ est libre
2) $x_j\notin\mathrm{Vect}((x_i)_{i\in I})$
J'ai réussi à montrer 1) $\implies$ 2) par contraposée mais je bloque pour 2) $\implies$ 1).
Réponses
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Encore par contraposée ?
Si $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ n’est pas libre, alors il existe... -
Si $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ n'est pas libre alors elle est liée donc il existe $(\lambda_i)_{i\in I\cup\{j\}}\in K^{(I\cup\{j\})}$ non nul tel que $\sum_{i\in I\cup\{j\}}\lambda_i x_i=0_E$. Là où je bloque c'est que j'ai envie d'isoler $x_j$ mais je ne sais pas si $\lambda_j\neq 0$.
-
Ok.
S’il vaut $0$, qu’est-ce que cela signifie pour les autres $(x_i)$ et cette combinaison linéaire (nulle) ?
Remarque : il me semble qu’il faut essayer de démontrer ces choses là dans tous les sens (démonstrations directe et contraposée) une fois qu’on aura réglé cette histoire ;-) -
Ah oui, c'est bon, $\lambda_j\neq 0$ sinon la famille $(x_i)_{i\in I}$ est liée. Donc $x_j\in\mathrm{Vect}((x_i)_{i\in I})$. Merci.
-
(tu)
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