Ajout d'un élément à une famille libre
dans Algèbre
Soit $(x_i)_{i\in I}$ une famille libre d'un $K$-ev $E$. Soit $j\notin I$ et $x_j\in E$. Je veux montrer que 1) et 2) sont équivalentes :
1) $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ est libre
2) $x_j\notin\mathrm{Vect}((x_i)_{i\in I})$
J'ai réussi à montrer 1) $\implies$ 2) par contraposée mais je bloque pour 2) $\implies$ 1).
1) $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ est libre
2) $x_j\notin\mathrm{Vect}((x_i)_{i\in I})$
J'ai réussi à montrer 1) $\implies$ 2) par contraposée mais je bloque pour 2) $\implies$ 1).
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Réponses
Si $(x_i)_{i\in I\cup\{j\}}$ n’est pas libre, alors il existe...
S’il vaut $0$, qu’est-ce que cela signifie pour les autres $(x_i)$ et cette combinaison linéaire (nulle) ?
Remarque : il me semble qu’il faut essayer de démontrer ces choses là dans tous les sens (démonstrations directe et contraposée) une fois qu’on aura réglé cette histoire ;-)