Groupe admettant exactement 4 sous-groupes

viko
viko
dans Algèbre
Bonjour,

D'aprés un des exercices (3.3) du livre Théorie des groupes de Felix Ulmer, un groupe $G$ admettant exactement 4 sous-groupes (je les note $1,G_1,G_2,G$) est cyclique d'ordre $pq$ ou $p^3$, J'arrive à montrer qu'un tel groupe est fini et que $G = G_1 \cup G_2$, mais je n'arrive pas à en déduire qu'il est monogène. De plus avec le lemme de Cauchy on s'en sort assez bien pour trouver l'ordre du groupe, mais ce lemme n'est pas encore abordé au stade du livre auquel je suis.

Comment montrer qu'un tel groupe est monogène ? Comment trouver son cardinal sans le lemme de Cauchy ?

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    $G=G_1\cup G_2$ semble compliqué, tu voulais sûrement dire "le sous-groupe engendré par".

    Le cardinal sera facile à obtenir une fois que la cyclicité sera établie : tu peux montrer facilement qu'un groupe cyclique de cardinal $n$ a exactement un sous-groupe pour chaque diviseur $d$ de $n$; donc $n$ a $4$ diviseurs, de là on trouve facilement ce qu'il faut.

    Pour établir la cyclicité, je distinguerais selon la valeur de $G_1\cap G_2$, pour déterminer qui sont $G_1$ et $G_2$ et leur relation dans $G$. Il y a encore du travail après mais c'est un bon départ
  • malavita
    malavita
    Pour la cyclicité, je prendrais un élément $x$ dans $G$, distinct de $e$. Cet élément n'engendrant pas $G$, il existe $y$ dans $G$ qui n'est pas dans $<x>$.
    On se retrouve donc avec quatre sous groupes, les deux triviaux, puis $<x>$ et $<y>$...Quid de $<xy>$ ?

    Bonne soirée

    F.
  • viko
    viko
    @maxtimax oui je voulais écrire $G =\, <G_1 \cup G_2>$, en utilisant le fait que $G_1 \cap G_2$ est un sous-groupe j’en déduis que ou bien $G_1 \cap G_2 = 1$ ou bien $G_1 \cap G_2 = G_1$ (Le cas $=G_2$) est analogue. À partir de là on peut en déduire des choses sur le cardinal de $G_1 G_2$ mais je ne vois pas encore comment en déduire la cyclicité.

    @malavita par l’absurde si $G$ n’était pas cyclique on aurait $<xy>\, =\, <x>$ ou $<y>$ par exemple, là non plus je ne vois pas comment conclure.
  • MrJ
    MrJ
    Avec le raisonnement de malavita : par l’absurde $xy$ est une puissance de $x$ ou une puissance de $y$, donc...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Si $G_1\cap G_2 = G_1$, par un argument de cardinalité, $G_2$ est normal. $G/G_2$ n'a pas de sous-groupe propre : que dire d'un de ses générateurs ?

    Si $G_1\cap G_2 = 1$, tu peux essayer de montrer à nouveau que $G_1$ et $G_2$ sont normaux (que dire de $\langle x \rangle$ avec $x$ tel que $xG_1x^{-1} \neq G_1$ ? ) et en déduire une décomposition de $G$.
  • viko
    viko
    @MrJ On en déduirait que $y$ est une puissance de $x$ ce qui est absurde

    @maxtimax ça semble plus compliqué mais je vais y réfléchir
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