Groupe $[a_1,b_1][a_2,b_2] \cdots= 1$

Dans les deux cas, il y a une carte combinatoire qui encode le plongement (cellulaire) d'un graphe dans une surface orientable (sans bord). Je n'aime pas pointer wiki mais je le fais https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_map. Je pourrais pointer mes affaires de quand j'étais petit mais je n'y tiens pas. Un autre pointeur http://www.gipsa-lab.fr/~francis.lazarus/Enseignement/compuTopo3.pdf

Je décris la première carte : c'est la donnée d'un ensemble fini $A$ (les arcs) et de deux permutations de $A$, notées $r$ et $a \mapsto a^*$, la seconde étant une involution sans point fixe représentant l'arc opposé. Ici $A$ est de cardinal $4g$ et $r$ est un $4g$-cycle :
$$
A = \{a_1, \cdots, a_g\} \vee \{b_1, \cdots, b_g\} \vee \{a_1^*, \cdots, a_g^*\} \vee \{b_1^* , \cdots, b_g^*\}
\qquad\qquad
r = (a_1 b_1 a_1^* b_1^* a_2 b_2 a_2^* b_2^* \cdots a_g b_g a_g^* b_g^*)
$$
La caractéristique d'Euler est donnée par $\alpha_0 - \alpha_1 + \alpha_2$ où $\alpha_0$ est le nombre d'orbites de $r$, $\alpha_1$ celui de $*$ et $\alpha_2$ celui de $r \circ *$. C.a.d. ici $1 - 2g + 1 = 2-2g$.

Idem pour la deuxième carte. Pour $g = 2$:

[color=#000000]> r2 ;        
(x1, x2, x3, x4, x1*, x2*, x3*, x4*)
> star2 ;
(x1, x1*)(x2, x2*)(x3, x3*)(x4, x4*)
> star2 * r2 ; // r2 o star2
(x1, x2*, x3, x4*, x1*, x2, x3*, x4)
[/color]

Précision : je ne veux pas seulement savoir que $G$ et $H$ sont isomorphes, je veux expliciter un isomorphisme de $G$ sur $H$. Du moins, si j'ai bien compris. La vacherie, c'est que pour $g=2$ par exemple, les groupes cartographiques ne sont pas isomorphes : l'un est d'ordre 32, l'autre cyclique d'ordre 8. Hum, bizarre, fort possible que je me plante quelque part

@Seirios. Vu, merci. Mais il y a un petit souci. D'abord, je suppose que tu utilises les commutateurs dans le sens $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$. De sorte que
$$
x^y = yxy^{-1} = yxy^{-1}x^{-1}\ x = [y,x] x
$$
Donc quand tu passes de la ligne 6 à 8 :
$$
(m_1^{-1})^{x_2} = [x_2,m_1^{-1}]\, m_1^{-1}
$$
Or chez toi, il y a un $x_1$ au lieu de $x_2$. Je suppose que c'est une coquille. Et du coup des choses à rectifier.

De mon côté, en bricolant, j'ai fini par poser (dans le sens exprimer les $x_k$ en fonction des $a_i, b_j$) :
$$
x_1 = a_1, \qquad x_2 = a_1^{-1} b_1^{-1}, \qquad x_3 = b_1 b_2, \qquad x_4 = a_2b_1^{-1}
$$
Pas très joli, j'en conviens. Et ces $x_i$ vérifient $x_1x_2x_3x_4 = x_4x_3x_2x_1$ QUAND $(a_1,b_1)(a_2,b_2) = 1$. Ci-contre, les commutateurs utilisés sont les notations et conventions des commutateurs de Bourbaki (qui collent à magma) annoncés dans mon premier post. Sauf que Alain a remplacé les parenthèses par des crochets.

Cela s'inverse de la manière suivante :
$$
a_1 = x_1, \qquad b_1 = (x_1x_2)^{-1}, \qquad a_2 = x_4(x_1x_2)^{-1}, \qquad b_2 = (x_1x_2)x_3
$$
Ce qui ressemble UN PEU à tes affaires.

Par ailleurs, je suis en train d'essayer de piger le B.A.BA en ce qui concerne systèmes confluents, Knuth-Bendix ...etc.. Et j'ai trouvé des relations d'ordre qui permettent de faire converger Knuth-Bendix pour les groupes $G, H$. Si bien que les deux groupes $G, H$ de mon premier post sont présentés par des systèmes confluents, ce qui me permet de vérifier mes calculs (puisque le problème du mot y est résolu).

Coucou,
Une fois que les choses sont terminées, c'est plus simple que prévu. Ainsi dans mon post précédent, on a $b_i = m_i$ donc inutile d'introduire les $m_i$. Un résumé ci-dessous
$\bullet$ Pour tout groupe $G$ et tout entier $g \ge 1$, on dispose d'une bijection $G^{2g} \to G^{2g}$, $(x_1, \cdots, x_{2g}) \mapsto (a_1, \cdots, a_g, b_1, \cdots, b_g)$ définie par
$$
b_i = x_{2i-1} x_{2i} \quad 1 \le i \le g, \qquad\quad \pi_i = \prod_{j < i} b_j, \quad 1 \le i \le g+1, \qquad\quad a_i = x_{2i}^{-1} \pi_i \quad 1 \le i \le g
$$
qui a la propriété que l'élément de gauche ci-dessous s'écrit comme un produit de $g$ commutateurs $(a,b) = a^{-1}b^{-1}ab$ :
$$
x_1 x_2 \cdots x_{2g} (x_{2g} \cdots x_2x_1)^{-1} = \pi_{g+1}\ (a_1, b_1) \cdots (a_g,b_g)\ \pi_{g+1}^{-1} = (a'_1, b'_1) \cdots (a'_g,b'_g)
\quad \text {avec} \quad a'_i = \pi_{g+1} a_i \pi_{g+1}^{-1}, \quad b'_i = \pi_{g+1} b_i \pi_{g+1}^{-1}
$$
$\bullet$ De la même manière, on peut expliciter l'application inverse $(a_1, \cdots, a_g, b_1, \cdots, b_g) \to (x_1, \cdots, x_{2g})$. J'ai la flemme.

$\bullet$ $2g$ est pair mais on peut dire des choses pour un nombre impair. Ainsi $x_1x_2x_3 (x_3x_2x_1)^{-1}$ est un produit de deux commutateurs (faire $x_4 := 1$)

[color=#000000]> A ;
[ x1 * x2 * x3 * x2^-1 * x3^-1 * x2^-1 * x1^-1,         x1 * x2 * x3 * x1 * x2 * x3^-1 * x2^-1 * x1^-1 ]
> B ;
[ x1 * x2 * x3 * x1 * x2 * x3^-1 * x2^-1 * x1^-1,       x1 * x2 * x3 * x2^-1 * x1^-1 ]
> (A[1],B[1]) * (A[2], B[2]) ;
x1 * x2 * x3 * x1^-1 * x2^-1 * x3^-1
[/color]

$\bullet$ QUESTION : on considère un groupe libre $L(x_1, x_2, \cdots)$ et un mot $w$ de ce groupe. C'est facile de tester si $w$ est un produit de commutateurs i.e. est dans le groupe dérivé de $L$. Il suffit que pour chaque générateur $x_i$ de $L$, la somme des exposants de $x_i$ dans $w$ soit nulle.
1. Dispose-t-on d'un algorithme pour écrire $w$ comme un produit de commutateurs ?
2. En supposant que oui, cet algorithme est-il assez bien fichu pour écrire $x_1 x_2 \cdots x_{2g} (x_{2g} \cdots x_2x_1)^{-1}$ comme un produit de $g$ commutateurs ?

@Seirios
Merci pour la référence. Je vais essayer de regarder. C'est juste pour le fun car ce n'est pas ce que j'avais prévu AVANT le début du fil : j'avais prévu des choses sur les systèmes de réécriture. Et j'ai commencé par des groupes présentés par un seul relateur et puis de fil en aiguille, j'en suis venu à la question initiale du fil. Je reviendrais aux systèmes de réécriture un jour ou l'autre (?) ; sauf que, pour l'instant, j'en ch.e pour présenter un groupe libre abélien à deux générateurs de manière confluente !!

@Seirios
Histoire de commutateurs : j'ai parcouru rapidement le papier de Goldstein & Turner mais j'ai eu la grosse flemme. Ils écrivent que leur étude fournit un algorithme. On est content de le savoir.

Comptage des surfaces obtenues comme recollements d'arêtes d'un $2n$-gone. C'est quand même un truc de dingue. On a la formule
$$
T_n = (2n-1)!! \ \sum_{m=0}^{n+1} \binom {N}{n} \binom{n}{m-1} 2^{m-1} \qquad\qquad (2n-1)!! = 1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1)
$$
Rappel : $N$ est une indéterminée ou un entier, cela dépend de l'heure dans la journée.
Un extrait d'un papier de Zvonkin Matrix Integrals and Map Enumeration: An Accessible Introduction in https://www.labri.fr/perso/zvonkin/Research/matrixint.pdf.
Où l'on voit, dans le théorème 5.2, que $T_n(N) \leftrightarrow f(k,N)$ s'exprime comme une intégrale sur un espace de matrices $N \times N$ (là, c'est sûr, $N$ c'est un entier). La référence [18] c'est un papier de Harer & Don Zagier (ce n'est pas le papier de Don Zagier Applications of the representation theory of finite groups dont j'ai parlé dans mon post précédent). Note : le papier de Zvonkin est un beau papier ; et Zvonkin écrit de manière non snob.

$\newcommand \scp[2] {\langle#1\,|\,#2\rangle}$0. N'arrivant pas à montrer l'équivalence entre les deux formulations (Don Zagier), je me suis replongé dans la (une) preuve de la formule de Frobenius. J'attache l'énoncé qui provient de Don Zagier https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/tex/ApplRepTheoryFiniteGroups/fulltext.pdf. A noter le commentaire de Don Zagier avant la preuve : il explique ce que signifie la formule pour $k = 1,2,3$.

En passant, je pose une question : comment se fait-il, dans un fil demandant des applications de la théorie des représentations linéaires, que cette formule de comptage n'ait point été fournie ? Plusieurs réponses sont possibles. On ne la connaissait pas ? Mais je signale qu'il s'agit des exercices 1, 2 du chapitre 4 de Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Une autre réponse est qu'on ne mesure peut-être pas assez ce qu'elle dit ? On voit quand même que le membre gauche ne fait pas intervenir les caractères si bien que l'égalité est un pont entre deux domaines. J'ai souligné en rouge une phrase de Don Zagier (combinatoire).

Est ce que je vais recopier ici la preuve de Don Zagier ? NON. Car elle est peut-être trop parfaite. Je vais plutôt suivre Serre, Topics in Galois Theory, qui, à mon avis, permet de mieux voir ``certaines choses''.

1. Je vais montrer, en m'inspirant de Serre, Topics in Galois Theory, section 7.2 (Counting solutions of equations in finite group) http://www.ms.uky.edu/~sohum/ma561/notes/workspace/books/serre_galois_theory.pdf le résultat suivant. Contexte : $G$ un groupe fini, $\chi$ un caractère irréductible de $G$, $C_1, \cdots, C_k$ $k$ classes de conjugaison et enfin $y \in G$
$$
\sum_{c \in C_1 \times \cdots \times C_k} \chi(c_1 \cdots c_k y) = |C_1| \cdots |C_k| \ \chi(1)^{-k} \chi(C_1) \cdots \chi(C_k) \chi(y)
\qquad\qquad c = (c_1, \cdots, c_k) \qquad (\heartsuit)
$$
Il faut noter la présence du $y$. Important. A la fin, pour obtenir la formule de Frobenius, on fera $y = 1$ ! Mais ce $y$ va servir d'une part à entretenir une récurrence et d'autre part à obtenir un résultat (apparemment) plus fin.

Je commence par $k = 1$ en notant $C_1 = C$. J'introduis $\varphi = \sum_{c \in C} \rho(c)$ où $\rho : G \to \text{GL}(V)$ est de caractère $\chi$. C'est une variante par rapport à Serre qui considère $\sum_{t \in G} \rho(t ct^{-1})$ (ce qui l'obligera à la fin, à réaliser une petite jonglerie, cf les 3 lignes avant l'énoncé de 7.2.1).
On vérifie que $\varphi$ est un $G$-morphisme (facile) donc (Schur) $\varphi = \lambda \text{Id}_V$. Et on détermine $\lambda$ en donnant un coup de trace :
$$
|C| \ \chi(C) = \lambda \dim V \qquad \text{i.e.} \quad \lambda = |C| \ \chi(1)^{-1} \chi(C)
$$
On multiplie $\sum_{c \in C} \rho(c) = |C| \ \chi(1)^{-1} \chi(C)\ \text{Id}_V$ par $\rho(y)$ (c'est là le sel de l'affaire : $\rho$ est multiplicatif pas $\chi$ !)
$$
\sum_{c \in C} \rho(cy) = |C| \ \chi(1)^{-1} \chi(C)\ \rho(y) \qquad \hbox {coup de trace} \quad
\sum_{c \in C} \chi(cy) = |C| \ \chi(1)^{-1} \chi(C)\ \chi(y) \qquad \quad \text { i.e. } (\heartsuit) \text { pour } k=1
$$
Ensuite, il suffit d'itérer (merci à la présence du $y$). Par exemple pour $k = 2$ on écrit :
$$
\sum_{(c_1,c_2) \in C_1 \times C_2} \chi(c_1c_2y) = \sum_{c_2 \in C_2} \sum_{c_1 \in C_1} \chi(c_1c_2y)
\qquad \text { utilisation de } k = 1 \text { pour la somme interne ...etc...}
$$
2. On passe maintenant de $\chi$ à une fonction centrale $F : G \to \C$ que l'on écrit $F = \sum_\chi \scp{F}{\chi}\, \chi$. Si bien que $(\heartsuit)$ donne :
$$
\sum_{c \in C_1 \times \cdots \times C_k} F(c_1 \cdots c_k y) = |C_1| \cdots |C_k| \sum_\chi \scp{F}{\chi}\ \chi(1)^{-k} \chi(C_1) \cdots \chi(C_k) \chi(y)
$$
On fait enfin $y=1$ et on prend pour $F : G \to \C$ la fonction caractéristique de $1_G$ i.e. celle qui vaut $1$ en $1_G$ et 0 ailleurs. C'est facile de voir que $\scp{F}{\chi} = \chi(1)/|G|$. Et comme $\chi(1)^{-k} \chi(y) \chi(1) = \chi(1)^{-(k-2)}$, on tombe sur la formule de Frobenius (comparer avec Topics in Galois Theory)

3. On a donc la formule de Frobenius ET des résultats intermédiaires. Par exemple, pour $k=1$, je change les notations, en notant $A$ une classe de conjugaison et en renommant $y$ en $b$ :
$$
\sum_{a \in A} F(ab) = |A| \ \sum_\chi \scp{F}{\chi}\ {\chi(A) \chi(b) \over \chi(1)} \qquad \qquad (\spadesuit)
$$
Je prends une autre classe de conjugaison que je note $C$ et pour $F$ la fonction caractéristique de $C^{-1}$. Un petit calcul montre que :
$$
\scp{F}{\chi} = {|C| \, \chi(C) \over |G|} \quad \text{si bien que } (\spadesuit) \text { fournit} \qquad\qquad\quad
\#\{(a,c) \in A \times C \mid abc = 1\} = {|A| |C| \over |G|} \, \sum_\chi {\chi(A) \chi(b) \chi(C) \over \chi(1)}
$$
Tiens à droite, l'égalité utilisée dans mon post en réponse à Aurel. Vous suivez ?