Famille libre (encore)
dans Algèbre
Est-ce que la propriété suivante est vraie ? Je n'arrive pas à prouver (ii) implique (iii) sauf si je suppose en plus que chaque $x_i$ non nul.
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Réponses
EDIT : C'est, comme l'a fait remarquer Nîmes-man, faux. L'espace engendré par un vecteur nul est réduit au vecteur nul, et il n'y a pas de raison que la somme ne soit pas directe, bien entendu.
Les propriétés i/ et iii/ sont clairement équivalentes mais pas ii/. La somme de l'espace nul et de n'importe quel autre sous-espace est bien directe.
Il manque l'hypothèse que les vecteurs sont tous non nuls.
Le cas $n=1$ n'a rien de particulier. Il est vrai, comme les autres, et pour la même raison que les autres, en précisant les vecteurs non nuls. Il ne l'est plus, comme les autres, et pour la même raison que les autres, sans cette précision.
Dans le cas $n=0$, on peut se dispenser de préciser que les vecteurs sont non nuls, mais même dans ce cas, ça me semble quand même plus agréable de le faire.