Rédaction correcte ? (fonction régulière)

Le premier « Donc » m’étonne et je mettrais plutôt un « Alors ».
Je dirais plutôt :
1)
soient g et h ... soit f une fonction poly... telle que : gf = hf.
Soit x non racine de f : alors f(x) non nul donc g=h.

2)
Soit y une racine de f.
-pourquoi supposer que g(y) n’est pas égal à h(y) ? je ne dis pas que c’est une erreur.
(au passage ce n’est pas tout à fait « par l’absurde »)
Attention : je ne comprends pas pourquoi tu affirmes ces égalités de limites.
Peux-tu détailler ?

Remarque : tu tiens la preuve je pense.

Édit : je n’avais pas envoyé semble-t-il et je n’avais pas vu le message de Maxtimax. Je propose les mêmes grandes lignes.

Le problème est le suivant : imagine un instant (ce n'est pas possible, mais il faut le prouver) que tu aies des racines de $f$ très très très proches de $y_k$ : pour toutes ces racines là a priori on ne sait pas que $g(x)= h(x)$; il faut donc expliquer pourquoi tu n'as pas de problème dans ta limite

En clair : si tu avais écrit que l'ensemble des racines de $f$ était $S$ sans préciser qu'il était fini, tu aurais pu écrire le même raisonnement avec les mêmes justifications, pourtant ce n'est pas vrai pour toute fonction $f$ : qu'est-ce qui fait que tu as une différence ici ?

Ok. D’ailleurs j’interfère dans la discussion.
Je laisse Maxtimax puisqu’il a entamé le dialogue.
Je vais suivre la discussion en sous-marin.

Ok tu as bien repéré le souci. Il y a selon moi (si on ne veut pas parler de densité) au moins 2 solutions :

- Ordonner tes racines $y_1<...<y_k$ et prouver par récurrence sur $i$ que $g(y_i) = h(y_i)$ (pourquoi l'ordre et la récurrence permettent d'éliminer le problème soulevé ?)

- Expliquer pourquoi pour tout $i$, il existe $\epsilon>0$ tel que $]y_k-\epsilon, y_k[$ ne contient pas de racine de $f$ et utiliser cet $\epsilon$ pour mener à bout ton argument.

La limite à droite est inutile effectivement, ce qui importe c'est que la limite à gauche est égale à la valeur.
Pour l'hérédité il vaut mieux faire une récurrence forte : tu supposes que la propriété est vraie pour tous les $i<j$ et tu le montres pour $j$.

Le raisonnement est correct.
En rédaction, plutôt que "on peut donc regarder la limite à gauche sans problème", j'écrirais "donc pour tout $x<y_j, g(x) = h(x)$, donc [écriture de la limite]"

Me revoilà.
Je suis intrigué.
J’ai l’impression de passer à côté de quelque chose.
Les polynômes sont réguliers mais certainement aussi les fonctions trigonométriques ou encore le sens fonctions avec des zéros isolés, non ?

Sur mon brouillon je n’ai pas eu à ordonner mes racines, ni à considérer des limites à gauche ou à droite.

Je vais regarder de plus près car dans les détails, le diablotin peut se cacher...

Les fonctions $f,g,h$ sont continues sur $R$ et à valeurs dans $R$.
Soit $y$ un zéro isolé de $f$. On note $I$ un ensemble qui ne contient que $y$ comme zéro de $f$.
Soit $(x_n)_n$ une suite d’éléments de $I\setminus \{y\}$ et telle que $x_n$ tend vers $y$.
On a :
pour tout $n$, $f(x_n)g(x_n)=f(x_n)h(x_n)$.
Comme aucun $f(x_n)$ n’est nul, on a alors :
pour tout $n$, $g(x_n)=h(x_n)$.
La suite $(g(x_n)_n)$ est la (même) suite (que la suite) $(h(x_n)_n)$, en d’autres termes.

Comme $g$ est continue (notamment en $y$), $g(x_n)$ tend vers $g(y)$.
De même $h(x_n)$ tend vers $h(y)$.
Par unicité de la limite : $g(y)=h(y)$.

Non ?

Édit : ok.
Ma preuve ne semble pas souffrir du « problème » de la densité.
J’utilise le terme « zéro isolé » pour faire savant mais ce n’est pas une notion difficile.

Dom : oui bien sûr, c'est la même chose sauf que tu ne parles pas de densité - j'avais d'ailleurs mentionné un argument similaire dans ma "deuxième solution" plus haut, mais comme arroyo ne l'a pas suivi, j'ai préféré ne pas parler de densité ou de choses associées.

Bonjour
Excusez-moi, j'ai l'impression que je vais poser une question bête mais voilà.

On veut montrer que toute fonction polynomiale non nulle est régulière dans l'anneau $C(\mathbb{R},\mathbb{R} )$.
Me viennent alors deux questions :

[1] L'anneau $C(\mathbb{R},\mathbb{R} )$ est-il muni de la loi de composition ou de la multiplication ? [2] Que signifie être régulière ?

Je perçois le terme "fonction régulière" comme synonyme de fonction $\C^\infty$, apparemment dans un anneau cela a un autre sens, que je n'ai pas trouvé sur le moteur de recherche.
Il semble évident pour vous que pour démontrer que $f$ polynomiale est régulière dans l'anneau considéré, il suffit de montrer que :
(*) $\forall d \in C(\mathbb{R},\mathbb{R} ),\ f.d=0 \Rightarrow d=0 $.
(J'utilise la lettre $d$, pour la différence $ g-h $.)

Est-ce que (*) implique lisse ? Ou alors est-ce que fonction régulière dans un anneau de fonctions a un sens particulier ?
J'espère que l'un d'entre vous pourra m'éclairer.

Bonjour.

Rien à voir avec le fait que ce sont des fonctions, seule la structure d'anneau est en cause.
Voir ce fil de discussion.

Cordialement.

Merci beaucoup !

Je n'ai pas très bien suivi la discussion, mais voici comme je présenterais les choses.

Soit $\mathcal{Z}\subset \mathbb{R}$. Un $x_{0}\in \mathcal{Z}$ est isolé dans $\mathcal{Z}$ si : $\exists \delta >0,]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \lbrack \cap \mathcal{Z}=\{x_{0}\}$. Comme dans tout espace métrique, ou topologique.

Soit $\mathcal{C}$ l'anneau des fonctions continues $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, addition et multiplication étant définies « image par image ». Soit $f\in \mathcal{C}$. Soit $\mathcal{Z}=f^{-1}(0)$ l'ensemble des zéros de $f$. Un $x_{0}\in \mathcal{Z}$ est isolé ssi il existe $\delta >0$ tel que pour $x\in]x_{0}-\delta ,x_{0}[\cup ]x_{0},x_{0}+\delta \lbrack $ on a : $f(x)\neq 0$.

Soit $f\in \mathcal{C}$ dont tous les zéros sont isolés et soit $g\in \mathcal{C}$ telle que $fg=0$ (fonction nulle).
Soit $x_{0}\in \mathbb{R}$. Si $f(x_{0})\neq 0$ alors $g(x_{0})=0$
Si $f(x_{0})=0$ alors il existe $\delta >0$ tel que pour $x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}[\cup ]x_{0},x_{0}+\delta \lbrack $ on a : $f(x)\neq 0$. Alors, pour $x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}[\cup ]x_{0},x_{0}+\delta \lbrack $ on a : $g(x)=0$. Comme $g$ est continue, il en résulte : $g(x_{0})=0$.
Ce qui prouve : $g=0$. La fonction $f$ est donc un élément régulier de l'anneau $\mathcal{C}$.

Si la fonction $f$ est une fonction-polynôme, elle n'a qu'un nombre fini de zéros, qui sont donc isolés. C'est donc un élément régulier de l'anneau $\mathcal{C}$.

Bonne soirée.
07/08/2019
[small]Bonne fête nationale à tous les Ivoiriens.[/small]

Bonjour Chaurien
J’ai pensé la même chose ($\displaystyle x\mapsto x \sin (\frac{1}{x})$).
En me servant de la démonstration que je propose plus haut. La même que la tienne en gros, mais avec les suites, j’ai pensé à caractériser les fonctions régulières (dans le sens « éléments réguliers ») de la manière suivante.

Une fonction $f$ (continue) est régulière lorsque, pour tout zéro $a$ de $f$, et pour tout voisinage de $a$, il existe une suite $u$ qui tend vers $a$ et telle que $f(u)$ ne s’annule pas.

Cordialement.
Dom.