Base de $K[X]$

hk-futur-mpsi
hk-futur-mpsi
dans Algèbre
Soit $K$ un corps (d'après mon cours, un anneau commutatif non réduit à $\{0\}$ et tel que tout élément non nul est inversible) et $a\in K$. J'essaie de vérifier un exemple du cours qui dit que $((X-a)^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base de $K[X]$ sans aucune précision sur $K$. Pour le côté génératrice, j'ai pensé que c'était évident avec la formule de Taylor qui dit que tout $P\in K[X]$ s'écrit $P=\sum_{k\in\mathbb N}\frac{P^{(k)}}{k!}(X-a)^k$

Sauf que cette formule a pour hypothèse que $K$ est de caractéristique nulle donc je n'ai pas le droit d'utiliser cet argument.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Idée 1 : Connais-tu la division euclidienne ?

    Idée 2 : Sais-tu déjà que $(X^k)_k$ est une base ?


    (en fait la formule marche presque en caractéristique non nulle, il faut juste mieux l'interpréter, mais pour l'instant je te propose autre chose)
  • hk-futur-mpsi
    hk-futur-mpsi
    Oui aux idées 1 et 2. Je vais regarder de ce côté là, merci !
  • 708
    708
    Au passage, voilà un résultat qui pourra t’intéresser : si $a_0,\ldots,a_n$ sont des éléments de $K$ deux à deux distincts, alors la famille des $(X-a_i)^n$ est libre.
  • hk-futur-mpsi
    hk-futur-mpsi
    Pour l'idée 2, j'ai envie de poser $Y=X-a$ mais je n'arrive pas à justifier. Je sais que $((X-a)^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base de $K[Y]$ mais ensuite...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    L'idée est que $X^k \mapsto (X-a)^k$ va être un isomorphisme (on peut exhiber son inverse !) et donc il envoie une base sur une base. Pour trouver son inverse on peut par exemple réfléchir en termes d'anneaux
  • hk-futur-mpsi
    hk-futur-mpsi
    Le problème que j'ai avec ton application c'est que j'ai l'impression qu'elle est mal définie :-(
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pourquoi ? À chaque élément de la base j'associe un élément, il y a un théorème (je pense que chaque prof lui donne un nom :-D) qui dit que ça s'étend uniquement à l'espace entier.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Quand on écrit cette application comme ceci : $P \mapsto P(X-a)$ (où $P(Q)$ désigne la composition de $Q$ et $P$), il est peut-être plus clair qu'elle est bien définie.
  • hk-futur-mpsi
    hk-futur-mpsi
    D'accord donc si je note $f:P\mapsto P(X-a)$ et $g:P\mapsto P(X+a)$, on a pour tout $P\in K[X]$ :
    $(g\circ f)(P)=g(P(X-a))=P(X-a+a)=P$ et $(f\circ g)(P)=f(P(X+a))=P$ donc $g=f^{-1}$ et $f$ est bijective.

    De plus $f$ est linéaire donc $f$ est un isomorphisme de $K[X]$.

    Comme pour tout $k\in\mathbb N, f(X^k)=(X-a)^k$ et que $(X^k)_{k\in\mathbb N}$ est une base de $K[X]$, on en déduit qu'en tant qu'image d'une base par un isomorphisme, $((X-a)^{k})_{k\in\mathbb N}$ est une base de $K[X]$.

    Et avec la division euclidienne ?
  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Une méthode dont je m'étonne qu'on ne te l'ait pas suggérée.

    Pour tout entier $n$, la famille $\big((X-a)^k\big)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une famille libre de $K_n[X]$ formée de $n+1$ vecteurs, donc elle est génératrice de $K_n[X]$ : ok ?

    Maintenant, soit $P\in\K[X]$. Il existe $n$ tel que $P\in\K_n[X]$, n'est-ce pas ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Oui c'est ça ! La division euclidienne c'était selon moi une autre manière d'aborder la proposition de Nîmes-man au cas où tu ne connaîtrais pas le résultat mentionné (famille libre de taille $n$ dans un espace de dimension $n$ est génératrice).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 12

AmadouVassilliagai requin +9 Invités