Transport de structure
Bonjour
Je sais que si $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $A$ est un ensemble, et que si je dispose d'une bijection de $A$ vers $E$, alors je peux munir $A$ d'une structure de $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et dans ce cas $A$ est isomorphe à $E$.
Cependant, je sais qu'il existe des bijections de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^2$.
Cela voudrait dire que je peux mettre sur $\mathbb{R}$ des lois qui en font un $\mathbb{R}$-espace vectoriel isomorphe à $\mathbb{R}^2$, ce qui est impossible car ils n'ont pas la même dimension.
Je pense qu'il y a quelque chose que je loupe, peut-être même quelque chose de trivial... Need help !
Mes excuses si le sujet a été déjà traité, j'ai cherché mais je n'ai pas trouvé.
M.
Je sais que si $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $A$ est un ensemble, et que si je dispose d'une bijection de $A$ vers $E$, alors je peux munir $A$ d'une structure de $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et dans ce cas $A$ est isomorphe à $E$.
Cependant, je sais qu'il existe des bijections de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^2$.
Cela voudrait dire que je peux mettre sur $\mathbb{R}$ des lois qui en font un $\mathbb{R}$-espace vectoriel isomorphe à $\mathbb{R}^2$, ce qui est impossible car ils n'ont pas la même dimension.
Je pense qu'il y a quelque chose que je loupe, peut-être même quelque chose de trivial... Need help !
Mes excuses si le sujet a été déjà traité, j'ai cherché mais je n'ai pas trouvé.
M.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En slogan : la dimension dépend des lois d'espace vectoriel, pas (que) de l'ensemble sous-jacent !
Merci pour la réponse rapide.
Pour l'utilité, personnellement je ne sais pas... Le transport de structure en général, oui; mais souvent ce sont des bijections plus "naturelles" (en un sens imprécis) qu'on utilise. Et je dirais (mais je ne connais pas tous les exemples donc je me trompe peut-être) que souvent ce sont des structures plus compliquées qu'on doit transporter : la structure d'espace vectoriel est assez simple pour qu'en général, si on a une bijection "naturelle" et qu'un côté est"naturellement" un espace vectoriel, l'autre aussi.
Merci !
M.