J'ai essayé de trouver une formule triviale quand m est pair (car le reste sera nul) et quand m est impair, mais je n'aine suis pas arrivé à le faire :-S Une idée svp ?
Pourquoi le reste est nul quand $m$ est pair ? Avec $m=2$, $n=0$ on a $(X-2)^2$ qui n'est visiblement pas divisible par $(X-1)(X-2)$.
Pour une idée : quel est le degré du reste ? As-tu des points intéressants où tu peux essayer d'évaluer le reste en utilisant $P= QB+R$ ?
oui on a des points interessants : 1 et 2, et c'est ca ce que j'ai fait pour obtenir la formule du reste, peut etre j'ai fait une erreur lors du calcul
Ah non c'est mon exemple qui est mal choisi, ou encore ton calcul qui dépend de la non nullité de $m$ et $n$ : il faut faire un cas à part lorsque l'un des deux est nul (car $0^0 = 1$ et pas $0$).
Mais si tu as une formule pourquoi n'en es-tu pas satisfait ?
Ce serait plus facile d'écrire le reste en utilisant l'interpolation de Lagrange :
$R(X)=P(2)(X-1)-P(1)(X-2)$.
Pour le quotient tu peux noter que $(X-1)^n-1=(X-1-1)((X-1)^{n-1}+\cdots+(X-1)^0)$ et il te reste à factoriser par $X-1$ le polynôme $(X-2)^{m-1}-(-1)^{m-1}$
Alors je ne suis pas du tout sûr pour le quotient par contre. Quelques idées en vrac :
- Déjà les deux sont unitaires donc le quotient est unitaire
- Tu peux essayer de dériver ton polynôme pour voir la multiplicité des racines $1$ et $2$ (i.e. les exposants $k,l$ quand tu écris $P= (X-1)^k(X-2)^l Q$ avec $Q(1)\neq 0, Q(2)\neq 0$)
- Tu peux essayer de voir si par hasard tu saurais calculer d'autres racines de ton polynôme (là je n'ai pas regardé du tout, pas le temps)
Réponses
Une idée svp ?
Pourquoi le reste sera-t-il nul si m est pair ?
Comment s'écrit le reste ?
Cordialement.
d'apres le calcul que j'ai fait ; le reste R = aX + b avec a = 1-(-1)m et b = -2a sauf erreur de ma part
donc le reste sera nul si m est pair
Pour une idée : quel est le degré du reste ? As-tu des points intéressants où tu peux essayer d'évaluer le reste en utilisant $P= QB+R$ ?
Mais si tu as une formule pourquoi n'en es-tu pas satisfait ?
$R(X)=P(2)(X-1)-P(1)(X-2)$.
Pour le quotient tu peux noter que $(X-1)^n-1=(X-1-1)((X-1)^{n-1}+\cdots+(X-1)^0)$ et il te reste à factoriser par $X-1$ le polynôme $(X-2)^{m-1}-(-1)^{m-1}$
Alors je ne suis pas du tout sûr pour le quotient par contre. Quelques idées en vrac :
- Déjà les deux sont unitaires donc le quotient est unitaire
- Tu peux essayer de dériver ton polynôme pour voir la multiplicité des racines $1$ et $2$ (i.e. les exposants $k,l$ quand tu écris $P= (X-1)^k(X-2)^l Q$ avec $Q(1)\neq 0, Q(2)\neq 0$)
- Tu peux essayer de voir si par hasard tu saurais calculer d'autres racines de ton polynôme (là je n'ai pas regardé du tout, pas le temps)
$$\frac{(X-2)^m + (X-1)^n - 1}{(X - 1)(X - 2)}=Q+ \frac{1-(-1)^m}{X-1}$$
Donc
$$\begin{aligned}
Q&=\frac{(X-2)^m + (X-1)^n - 1}{(X - 1)(X - 2)}-\frac{1-(-1)^m}{X-1}\\
&= \frac{(X-2)^m + (X-2)((X-1)^{n-1}+(X-1)^{n-2}\cdots+ 1)}{(X - 1)(X - 2)}-\frac{1-(-1)^m}{X-1}\\
&=\frac{(X-2)^{m-1}-(-1)^{m-1} + (X-1)^{n-1}+(X-1)^{n-2}+\cdots+(X-1)}{X-1}\\
&=(X-2)^{m-2}-(X-2)^{m-3}+\cdots+(-1)^{m-2}+ (X-1)^{n-2}+(X-1)^{n-3}+\cdots+1
\end{aligned}$$
C'était tellement utile
Merci à tous
Bonne journée