Plan tangent à une quadrique
Bonjour
Je suis en train d'étudier un chapitre sur les quadriques* et je bute sur la preuve d'une propriété qui traite du plan tangent à un point d'une quadrique propre à centre.
Pour les notations, on considère la quadrique possédant dans le repère orthonormé $(o, i, j, k)$ une équation de la forme : $$
\mathcal{Q} : \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\varepsilon \frac{z^{2}}{c^{2}}=\varepsilon^{\prime},
$$ avec $(a, b, c) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{3}$ et $\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right)=(1,1),(-1,1)$ ou $(-1,-1)$.
La forme quadratique principale $q$ de $\mathcal{Q}$ est alors canoniquement associée à l'endomorphisme symétrique de matrice $\operatorname{diag}\left(a^{-2}, b^{-2}, \varepsilon c^{-2}\right)$ dans la base orthonormée $(i,j,k)$. On note $\varphi$ la forme bilinéaire symétrique associée à $q$.
On se donne un point $m_0$ et on appelle $\mathcal{P}_0$ le plan tangent à $\mathcal{Q}$ en $m_0$ et $\mathcal{V}_0$ la direction de ce plan affine. On note $h_0=\overrightarrow{om_0}$. On a $q(h_0)=\varepsilon'$ et pour tout vecteur $h$ de $\mathcal{V}_0$, $\varphi(h,h_0)=0$.
Arrive alors la propriété suivante avec sa preuve.
Dans la démonstration, je n'arrive pas à comprendre pourquoi le cas $(\varepsilon,\varepsilon')=(-1,-1)$ conduit à dire que $(v_1,v_2)$ a pour matrice $diag(-1,-1)$. Si je suis le raisonnement, dans ce cas, $q$ a pour signature $(2,1)$ et les $\varepsilon_i$ ne peuvent valoir que 1 et 1. Ensuite le cas d'une signature $(2,1)$ se ramène au cas d'une signature $(1,2)$ en changeant tous les signes dans l'équation de la quadrique mais j'ai l'impression de louper quelque chose.
Merci par avance à ceux qui viendraient éclairer ma lanterne.
*Référence : Cours tout-en-un - Mathématiques -2e annee - Cours et exercices corriges - Warusfel, Deschamps, Moulin - 2001 (Dunod) p1019
Je suis en train d'étudier un chapitre sur les quadriques* et je bute sur la preuve d'une propriété qui traite du plan tangent à un point d'une quadrique propre à centre.
Pour les notations, on considère la quadrique possédant dans le repère orthonormé $(o, i, j, k)$ une équation de la forme : $$
\mathcal{Q} : \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\varepsilon \frac{z^{2}}{c^{2}}=\varepsilon^{\prime},
$$ avec $(a, b, c) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{3}$ et $\left(\varepsilon, \varepsilon^{\prime}\right)=(1,1),(-1,1)$ ou $(-1,-1)$.
La forme quadratique principale $q$ de $\mathcal{Q}$ est alors canoniquement associée à l'endomorphisme symétrique de matrice $\operatorname{diag}\left(a^{-2}, b^{-2}, \varepsilon c^{-2}\right)$ dans la base orthonormée $(i,j,k)$. On note $\varphi$ la forme bilinéaire symétrique associée à $q$.
On se donne un point $m_0$ et on appelle $\mathcal{P}_0$ le plan tangent à $\mathcal{Q}$ en $m_0$ et $\mathcal{V}_0$ la direction de ce plan affine. On note $h_0=\overrightarrow{om_0}$. On a $q(h_0)=\varepsilon'$ et pour tout vecteur $h$ de $\mathcal{V}_0$, $\varphi(h,h_0)=0$.
Arrive alors la propriété suivante avec sa preuve.
Dans la démonstration, je n'arrive pas à comprendre pourquoi le cas $(\varepsilon,\varepsilon')=(-1,-1)$ conduit à dire que $(v_1,v_2)$ a pour matrice $diag(-1,-1)$. Si je suis le raisonnement, dans ce cas, $q$ a pour signature $(2,1)$ et les $\varepsilon_i$ ne peuvent valoir que 1 et 1. Ensuite le cas d'une signature $(2,1)$ se ramène au cas d'une signature $(1,2)$ en changeant tous les signes dans l'équation de la quadrique mais j'ai l'impression de louper quelque chose.
Merci par avance à ceux qui viendraient éclairer ma lanterne.
*Référence : Cours tout-en-un - Mathématiques -2e annee - Cours et exercices corriges - Warusfel, Deschamps, Moulin - 2001 (Dunod) p1019
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