Racine d'un polynôme

hicham000 · August 2019

Bonjour
Je bloque sur cet exercice.

Soit $n \in \N^*$, montrer que pour tout $k \in \{1, 2,\ldots ,n-1\},\ \tan^{2} \frac{k\pi }{2n} $ est racine de $$\sum_{p=0}^{n-1} (-1)^{p} \binom{2n}{2p+1} X^{p}.
$$ Merci d'avance.
Et bonne journée.

GaBuZoMeu · August 2019

Soit $\theta=\dfrac{k\pi}{2n}$. Si tu notes $P$ ton polynôme, tu peux remarquer que $P(\tan(\theta)^2)$, multiplié par $\sin(\theta)\,\cos(\theta)^{2n-1}$, est la partie imaginaire de $\exp(i\theta)^{2n}$.

hicham000 · August 2019

Oui, tout à fait
Merci beaucoups

hicham000 · August 2019

Par la suite on demande de déduire :$\sum_{k=1}^{n-1}\ tan^{2}\frac{k\pi} {2n} = \frac{(n-1)(2n-1)} {3} $
Une idée svp ?

callipiger · August 2019

Bonsoir,
en réalisant le polynôme de degré $n-1$ dont les racines sont des produits de monômes de la forme $(X-\tan^2(\frac{k \pi}{2 n}))$ en le développant et en examinant le coefficient de $X^{n-2}$ tu devrais trouver quelque chose sinon il y a: les formules de Viète