Bonsoir,
pour les racines réelles, tu peux faire une étude de fonctions:
constater que la dérivée ne s'annule qu'en un point, en suite il faudra discuter selon la parité de $n$
ça te donnera le nombre de racines réelles.
Pour les racines rationnelles tu peut supposer que si il y a une racine rationnelle on peut la mettre sous forme d'une fraction irréductible $\frac{a}{b}$
($a$ et $b$ seront premiers entre eux) et multiplier le tout par $b^n$ cela donnera une relation pour $a^n$ et une relation pour $b^n$ dans chacun des cas $a$ et $b$ doivent diviser quelque chose ça te donnera des conditions sur $a$ et $b$.
Sais-tu combien de racines complexes ton polynôme possède a priori ? ou peut être parles-tu de racines complexes non réelles ?
Pour le nombre de racines réelles positives, la règle de Descartes montre qu'il y en a au plus deux. Pour le nombre de racines réelles négatives, la règle de Descartes appliquée à $P(-X)$ montre qu'il y en a aucune si $n$ pair et une si $n$ impair.
Réponses
pour les racines réelles, tu peux faire une étude de fonctions:
constater que la dérivée ne s'annule qu'en un point, en suite il faudra discuter selon la parité de $n$
ça te donnera le nombre de racines réelles.
Pour les racines rationnelles tu peut supposer que si il y a une racine rationnelle on peut la mettre sous forme d'une fraction irréductible $\frac{a}{b}$
($a$ et $b$ seront premiers entre eux) et multiplier le tout par $b^n$ cela donnera une relation pour $a^n$ et une relation pour $b^n$ dans chacun des cas $a$ et $b$ doivent diviser quelque chose ça te donnera des conditions sur $a$ et $b$.
Sais-tu combien de racines complexes ton polynôme possède a priori ? ou peut être parles-tu de racines complexes non réelles ?
C'était vraiment utile
Bonne journée
tu fais une étude de la fonction paramétrée : $P_n(x)$ de variable x et de paramètre n entier au moins égal à 2
la dérivée $P'_n(x)$ s'annule pour la valeur $m = (\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-1}}$ qui est comprise entre 0 et 1
et l'image de m par P est égale à $\frac{n-1}{n}.(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-1}} + 1$
qui est réelle positive puisque n est supérieur ou égal à 2
le tableau des variations de P t'indique (après calcul de P(0) et P(1)) que :
- si n est pair la fonction P ne s'annule pour aucune valeur réelle, mais s'annule pour n racines complexes conjuguées par paire
- si n est impair, la fonction P s'annule pour une racine réelle négative, et n - 1 racines complexes conjuguées par paire
cordialement