Symétrie dans une suite d'ordres linéaires

Bonjour,
Je voudrais savoir si la conjecture suivante est juste et/ou déjà connue. Avez-vous une idée de démonstration ou de contre-exemple ?
Merci.

Soit $X$ un ensemble fini et $(P_i)_{i\in N}$ une suite finie d'ordres linéaires sur $X$ tel que $$\forall x,y\in X,\quad
Card(\{i\in N \mid xP_iy\})=Card(\{i\in N \mid yP_ix\}).

$$ Pour tout ordre linéaire $P$, on définit l'ordre opposé $\bar{P}$ par $\ a\bar{P}b$ si et seulement si $bPa.$

Conjecture : il existe une partition $\{N_0,N_1\}$ de $N$ et une bijection $b:N_0\rightarrow N_1$ telle que pour tout $i\in N_0$, $P_{b(i)}=\bar{P_i}$.