Équation de degré 2 à 3 inconnues

Akdim rachid · August 2019

Bonjour, est-ce qu'on sait résoudre dans R les équations du types : ax**2+by**2+cz**2=d, a,b,c,d des réels. Que peut-on dire si le nombre de variables est supérieur à 3 variables, exemple 7 variables ?
Merci.

GaBuZoMeu · August 2019

Que veux-tu dire par résoudre ?
Ce que tu écris est l'équation d'une quadrique dont les axes de coordonnées sont les axes principaux. On sait les décrire, les dessiner, les classifier en fonction de $a,b,c,d$ etc.
Mais "résoudre", je ne vois pas ce que tu veux dire avec ce mot.

Akdim rachid · August 2019

Merci GaBuZoMeu .
et en ce qui concerne le genre d'equations ou le nombre d'equations depassent 3 a savoir 9 par exemple:

x**2+y**2+z**2+u**2+v**2+m**2+n**2+s**2+p**2=d , a,b,c,d des reels. ?

est ce qu'on sait les décrire,?

Merci.

GaBuZoMeu · August 2019

Tu mélanges allègrement variables et équations dans ce que tu écris, et il n'y a pas de $a,b,c$ ! Fais plus attention.
Si $d>0$, ce que tu écris est l'équation d'une sphère de dimension 8 dans $\mathbb R^9$. Bon et alors ? Que veux-tu en faire ?

gerard0 · August 2019

Adkim Rachid,

il n'y a aucune difficulté à résoudre dans $\mathbb R$ l'équation $2x^2+3y^2+4y^2 = 5$, encore moins pour $2x^2+3y^2+4y^2 = 0$ ou pour $2x^2+3y^2+4y^2 = -2$.

Il te suffit de revenir à la signification de résoudre (=trouver l'ensemble des solutions) et de solution. C'est à la portée d'un lycéen qui réfléchit.

Au fait : Que trouves-tu pour les deux dernières ?

Cordialement.

akdim · August 2019

En fait, GaBuZoMeu. ;
Est-ce que on peut trouver des points d'une sphère de dimension 8 à partir d'une autre de dimensions 3. Autrement dit transformer une équation d'une sphère de dimension 8 ou plus à une autre de dimension 3, par des changements de variables adéquates. Voilà c'est un peu plus clair ma question ?

GaBuZoMeu · August 2019

Non, pas tellement plus clair.
Si $(x_1,x_2,x_3)$ est un point de la sphère de rayon $\sqrt d$ dans $\mathbb R^3$, alors $(x_1,x_2,x_3,0,0,0,0,0,0)$ est un point de la sphère de dimension 8 et de rayon $\sqrt d$ dans $\mathbb R^9$. Mais une sphère de dimension 8, ce n'est pas le même objet qu'une sphère de dimension 2 et ce n'est pas un changement de variables qui transformera l'une en l'autre !

Gaussien · August 2019

La chose la plus simple qu'on puisse dire en toute généralité (je ne suis pas rentré dans les détails de ton problème) est: étant donnée une équation polynomiale à coefficients réels, on peut savoir si elle a une solution (réelle). On peut remplacer «équation» par «système d'équations» et même rajouter «système d'inéquations».

Par «on peut savoir» il faut comprendre «il existe un algorithme».

Ajout: on peut même (si on est très patient), savoir combien de solutions possède ledit système.

akdim · August 2019

GaBuZoMeu,
Pouvez-vous prouver l'impossibilité de ce changement de variable par un tel théorème ?

GaBuZoMeu · August 2019

Tu connais beaucoup de changements de variables qui transforment un objet géométrique de dimension 2 en un autre objet de dimension 8 ?
Vraiment, je ne vois pas du tout ce que tu cherches à faire !

jean lismonde · August 2019

Bonjour
l'équation donnée par Akdim dans son second message est celle d'une hyper-sphère de rayon $\sqrt{d}$ dans l'espace $R^9$ elle est de dimension 9 (et non pas 8).
On peut calculer son volume de dimension 9 ainsi que sa "surface" latérale de dimension 8.
Tu trouves (grâce à la fonction Gamma) :
\begin{align*}
V_9 &= \frac{2(2\pi.d)^4\sqrt{d}}{945} \\
V_8&=\frac{2(2\pi.d)^4}{105}.

\end{align*} Cordialement.

gerard0 · August 2019

La sphère donnée dans ce message est bien une hypersurface de dimension 8, à ne pas confondre avec la boule correspondante. $V_9$ est le 9-volume de la boule, et $V_8$ son volume comme hypersurface de dimension 8 dans un espace de dimension 8 (d'où le 8 de l'indice).

NB : je n'ai pas vérifié les calculs.

Cordialement.