Isomorphisme

hk-futur-mpsi · August 2019

Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie et $F_1,\dots,F_k$ des sev de $E$. Soit $f:F_1\times\dots\times F_k\rightarrow E^{k-1}$ l'application linéaire définie par $f(x_1,\dots,x_k)=(x_2-x_1,\dots,x_k-x_1)$. La question est de montrer que $\ker(f)$ est isomorphe à $\cap_{i=1}^k F_i$.

Je trouve $\ker(f)=\{(x_1,\dots,x_k)\in F_1\times\dots\times F_k \mid x_1=\dots=x_k\}$. Mais ensuite je bloque pour trouver l'isomorphisme.

GaBuZoMeu · August 2019

Si $x=x_1=\ldots=x_k$ avec $x_i\in F_i$, alors $x\in \bigcap_{i=1}^k F_i$.

Math Coss · August 2019

Vois-tu pourquoi, dans ta description du noyau de $f$, tu obtiens un élément de l'intersection des $F_i$ ? Vois-tu que cela te donne une application linéaire ?

En sens inverse, vois-tu une façon d'associer un élément $(x_1,\dots,x_k)$ du noyau de $f$ à un élément $x$ de l'intersection ?

hk-futur-mpsi · August 2019

Merci je pense que comme ça c'est bon :

Posons $g:\ker(f)\rightarrow\cap_{i=1}^k F_i$ défini par $g(x_1,\dots,x_k)=x_1$. Alors :
$g$ est linéaire car c'est la restriction-corestriction de la projection $F_1\times\dots \times F_k\rightarrow F_1$ qui est linéaire.
$g$ est injectif car si $g(x_1,\dots,x_k)=0$ alors $x_1=\dots=x_k=0$
$g$ est surjectif car si $y\in\cap_{i=1}^k F_i$ alors $y=g(y,\dots,y)$ avec $(y,\dots,y)\in\ker(f)$.

Math Coss · August 2019

Oui, on peut dire ça comme ça.

Isomorphisme

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Bonjour!

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