Recouvrement espace vectoriel

Le cas où $E$ est de dimension finie ne devrait pas poser de problème.

Vois-tu une bijection naturelle entre $(\R^2-0)/ \R^*$ et le demi-cercle unité de $\R^2$ ?

Pour un $K$-espace vectoriel tu peux toujours regarder l'ensemble des droites $(V-0)/ K^*$.

Si $K$ est un corps infini et $V$ est de dimension $\ge 2$, peux-tu montrer une infinité de droites de $V$ ?

Si $K$ est un corps fini et $V$ est de dimension finie alors combien il y a-t-il de droites dans $V$ ?

Si tu relis la preuve (en tout cas la preuve la plus classique) du résultat pour $K$ infini, tu verras qu'elle n'utilise pas vraiment l'infinitude (enfin pas “complètement“) et donc que tu peux obtenir un résultat d'impossibilité similaire mais (évidemment, au vu des exemples précédents) moins fort.

Tout espace vectoriel sur un corps fini de dimension au moins égale à $2$ est la réunion d'une famille finie de sous-espaces vectoriels stricts de $E$.
En effet soit $E$ un tel espace, $K$ le corps des scalaires, $p,q$ deux vecteurs linéairement indépendants dans $E$ et $F$ un supplémentaire de $Kp+Kq$. Si $(a,b)\in K^2$, on pose $f_{a,b} (x):= a\mu+b\nu$ où $(\mu,\nu,y)$ est l'unique élément de $K^2 \times F$ tel que $x=\mu p+ \nu q + y$.
Alors $E$ est la réunion des noyaux des formes linéaires $f_{a,b}$ où $(a,b)$ parcourt $K^2 \backslash \{(0,0) \}$.

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