Recouvrement espace vectoriel

Soit $E$ un $K$-ev de dimension finie. Dans un devoir il est montré que si $K$ est infini, $E$ ne peut pas être écrit sous la forme d'une union finie de sev stricts $E=V_1\cup\dots\cup V_N$. C'est bon pour ça.

Il y a une question en prolongement qui n'est pas corrigée et que je n'arrive pas à résoudre. Cette question demande de traiter le cas où $K$ est fini.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par hk-futur-mpsi.

Le cas où $E$ est de dimension finie ne devrait pas poser de problème.

Bonjour

Prends $K=\Z/2\Z$ et $E=K^2$. Cherche les sous-espaces vectoriels stricts.

Vois-tu une bijection naturelle entre $(\R^2-0)/ \R^*$ et le demi-cercle unité de $\R^2$ ?

Pour un $K$-espace vectoriel tu peux toujours regarder l'ensemble des droites $(V-0)/ K^*$.

Si $K$ est un corps infini et $V$ est de dimension $\ge 2$, peux-tu montrer une infinité de droites de $V$ ?

Si $K$ est un corps fini et $V$ est de dimension finie alors combien il y a-t-il de droites dans $V$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par reuns.

J'ai oublié de dire que $E$ était de dimension finie, désolé !

Si tu relis la preuve (en tout cas la preuve la plus classique) du résultat pour $K$ infini, tu verras qu'elle n'utilise pas vraiment l'infinitude (enfin pas “complètement“) et donc que tu peux obtenir un résultat d'impossibilité similaire mais (évidemment, au vu des exemples précédents) moins fort.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell

Bonjour,

Cas corps infini égal à $\R$ où $\C$
En considérant l'intérieur de $E$ on a immédiatement le résultat.

@Maxtimax : quelle est cette démonstration classique si le corps est de cardinal infini ? Se ramener à des hyperplans et à un produit de fonctions polynomiales partout nul ?
D'après le commentaire, ça ne doit pas être ça, ou alors je ne vois pas comment avoir de l'information dans le cas corps fini.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.

Tout espace vectoriel sur un corps fini de dimension au moins égale à $2$ est la réunion d'une famille finie de sous-espaces vectoriels stricts de $E$.
En effet soit $E$ un tel espace, $K$ le corps des scalaires, $p,q$ deux vecteurs linéairement indépendants dans $E$ et $F$ un supplémentaire de $Kp+Kq$. Si $(a,b)\in K^2$, on pose $f_{a,b} (x):= a\mu+b\nu$ où $(\mu,\nu,y)$ est l'unique élément de $K^2 \times F$ tel que $x=\mu p+ \nu q + y$.
Alors $E$ est la réunion des noyaux des formes linéaires $f_{a,b}$ où $(a,b)$ parcourt $K^2 \backslash \{(0,0) \}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Foys.

Side : tu supposes que $E= \bigcup_i V_i$ et que cette union est minimale : aucun des $V_i$ n'est inclus dans l'union des autres. Tu prends $x_1$ dans $V_q
1$ et aucun des autres, puis $x_i \in V_i$ quelconque pour $i\neq 1$, et finalement tu regardes $\lambda x_1 + x_2 +...+x_k$, $\lambda$ variant.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell

Merci @maxtimax

J'ai eu un peu de mal pour réaliser la contradiction.

J'essaierai d'exploiter l'argument utilisé dans le cas infini pour en tirer une information sur le cas fini. J'imagine qu'on obtient un majorant du nombre minimal de sous-espaces stricts pour recouvrir $E$???
Ce qui serait intéressant, ce serait d'avoir un résultat sur le minimum de sous-espaces pour recouvrir $E$.

Side : oui pour ta question de fin. Si tu as besoin d'aide pour conclure, n'hésite pas à demander !
Et un tel résultat existe, même quand le corps est infini, mais uniquement pour la dimension finie (on en a déjà discuté je crois sur ce forum, et il est certain que ça a été discuté sur MSE ou MO)

(Pour imaginer ce qui pose problème en dimension infinie, penser à $\R [X]$)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell

Je rebondis ici car j'ai lu une autre correction de l'exercice en question et par rapport à ma rédaction je me pose une question.

Dans l'application $\K\longrightarrow\{2,\dots,k\},\lambda\longmapsto i_{\lambda}$, n'y a-t-il pas un problème ? En effet, ça n'est pas forcément une application car pour un $\lambda\in\K$ donné, il peut exister plusieurs indices $i_{\lambda}\in\{2,\dots,k\}$ tels que $y+\lambda x\in V_{i_{\lambda}}$, notamment parce que la réunion $V_2\cup\dots\cup V_k$ n'est pas forcément disjointe. Je me trompe ?

Oui mais ce n'est pas un problème, on choisit un de ces indices : par exemple on se met d’accord pour dire qu'on prend à chaque fois le plus petit.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par AD.

Oui je suis d'accord qu'on peut résoudre le problème mais il faut rajouter ce détail sinon ce n'est pas correct.

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