L'anneau de Chow $ A^{ \bullet } ( BU(n) ) $

Pablo_de_retour · August 2019

Bonjour
Pourriez-vous me dire s'il vous plaît comment on calcule l'anneau de Chow $ A^{ \bullet } ( BU(n) ) $, avec : $ BU(n) $ l'espace classifiant représentant le foncteur $ B \to \mathcal{E}_{n}^{ \mathbb{C} } (B) $ avec $ \mathcal{E}_{n}^{ \mathbb{C} } (B) $ l'ensemble des classes d'isomorphismes de fibrés vectoriels complexes de dimension $n$ sur $ B $ ?
Merci d'avance.

Lupulus · August 2019

$BU(n)$ peut s'écrire comme limite de grassmannienne, et pour les grassmanniennes l'anneau de Chow coïncide avec la cohomologie à cause des cellules de Schubert. Donc il suffit de calculer la cohomologie de $BU(n)$ ce qui est fait sur wikipedia. Ils utilisent une récurrence et une fibration mais je pense qu'on peut s'en sortir plus simplement en prenant la limite. Je compte sur toi pour écrire les détails.

Pablo_de_retour · August 2019

Merci beaucoup. J'ai compris.
Donc, on obtient à la fin : $ A^{ \bullet } ( BU(n) ) = \mathbb{Q} [ c_1 , \dots , c_n ] $, avec : $ c_i $ le $ i $ - ième classe de Chern de $ BU(n) $. Non ?

L'anneau de Chow $ A^{ \bullet } ( BU(n) ) $

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